高二数学。已知a,b,c均为实数，求证：a^2+b^2+c^2>1/3(a+b+c)^2

Question

已知a,b,c均为实数，求证：a^2+b^2+c^2>1/3(a+b+c)^2.(2)若a,b,c均为实数，且a=x^2-2y+1/3,b=y^2-2z+3,c=z^2-2x+1/6.求证：a,b,c中至少有一个大于0

Answer 1

（1）分析法：
首先这里应该是a^2+b^2+c^2>=1/3(a+b+c)^2才对
如果a^2+b^2+c^2>1/3(a+b+c)^2，那a，b，c就应该是不相等的实数
要证（a^2+b^2+c^2>=1/3(a+b+c)^2
只需证3（a^2+b^2+c^2）>=(a+b+c)^2
又(a+b+c)^2=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
所以要证3（a^2+b^2+c^2）>=(a+b+c)^2
只需证2（a^2+b^2+c^2）>=2ab+2ac+2bc
即要证（a²+b²）+（a²+c²）+（b²+c²）>=2ab+2ac+2bc，
又a²+b²>=2ab，a²+c²>=2ac，b²+c²>=2bc，
所以（a²+b²）+（a²+c²）+（b²+c²）>=2ab+2ac+2bc得证（当a=c=c时，取等号；如果a，b，c不相等就不取等号）
（2）反证法：
假设a<=0,b<=0,c<=0
这样a+b+c<=0
而a=x^2-2y+1/3,b=y^2-2z+3,c=z^2-2x+1/6
所以a+b+c=x^2-2y+1/3+y^2-2z+3+z^2-2x+1/6
=x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-zx+1+1/2
=（x-1）²+（y-1）²+（y-1）²>0
这里假设a+b+c<=0与题目所得a+b+c>0矛盾，所以假设不成立
所以a,b,c中至少有一个大于0

Answer 2

(1)(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
a^2+b^2≥2ab
a^2+c^2≥2ac
b^2+c^2≥2bc
∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤3(a^2+b^2+c^2)
∴a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2(a=b=c时等号成立)
(2)a+b+c=x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-7/2=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+1/2＞0
∴a.b.c中必有一个大于0

Answer 3

不等式两侧去分母后，左方的平方展开后，可以消去一部分，最后可以形成三个完全平方式的