高数题：①证明，如果函数f(x )当x →X0时极限存在，则f (x )在X0处的某一领域内有界

Answer 1

证明过程如下图：

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证明函数有界的方法：

利用函数连续性，直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0。

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

采用洛必达法则求极限，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

Answer 2

函数f(x )当x →X0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x →X0)
根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε
而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域U(x0;δ)
又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1<f(x)<a+1
再取M=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域U(x0;δ)时,有|f(x)|<M,即有界
证毕
有不懂欢迎追问

Answer 3

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设x→x0时，f(x)→A

则对任意ε>0,存在δ>0,当 0<|x-x0|<δ时

|f(x)-A|<ε

即 A-ε<f(x)<A+ε

这说明f(x)在那去心领域是有界的

Answer 4

好复杂