当两个圆相交时(已知两个圆的一般方程），为什么将这两个圆相减，就会得到两圆的公共弦？

Question

不要简单地说，因为相减消去了二次项。

Answer 1

可根据方程式的意义进行解释：

两个圆相交时会出现两个公共点，这两个点存在于两个原方程中，两个点的坐标就是两个圆方程的解集，所以两个交点坐标都满足两个圆相减所得方程。

两个点能够确定一条直线，且具有唯一性，因此两个圆相减，就会得到两圆的公共弦。

扩展资料：

相交两圆的公共弦所在的直线方程：

若圆C1：(x-a1)^2+(y-b1)^2=r1^2或x2+y2+D1x+E1y+F1=0

圆C2：(x-a2)^2+(y-b2)^2=r2^2或x2+y2+D2x+E2y+F2=0

则过两圆交点的直线方程为：(x-a1)^2+(y-b1)^2－(x-a2)^2－(y-b2)^2=r1^2－r2^2 或 (D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0

这是“两相交圆方程相减得公共弦方程”的变式

设两圆分别为

x^2+y^2+c1x+d1y+e1=0 ①

x^2+y^2+c2x+d2y+e2=0 ②

两式相减得

（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0 ③

这是一条直线的方程

1、先证这条直线过两圆交点

设交点为(x0,y0)则满足①②

所以满足③

所以交点在直线③上

2、由于过两交点的直线又且只有一条。

参考资料来源：百度百科-公共弦

Answer 2

两个圆相较于2个点，那么这两个点的坐标同时满足两个圆的方程。
两个圆方程相减是线性运算，那么两个交点也满足相减后的结果。
消去二次项之后所得二元一次函数是一个直线的方程。并且两个圆的交点满足这个方程，
换句话说，这个直线经过两个圆的交点。
另一方面，经过两个不重合的点的直线有且仅有一条。那么可以得到，两圆方程相减所得到的直线方程就是经过这两个交点的直线，也就是公共弦所在直线的方程

Answer 3

两圆相交，有两个交点，。两个交点既存在于圆1，又存在于圆2，故两个圆的方程联立方程组，解为交点，则两个交点坐标都满足两个圆相减所得方程。又，两点确定一条直线，唯一性，两个圆相减所得即为公共弦。

Answer 4

二楼 余家的小鱼儿 的回答是比较正确的，我觉得你能想这个问题就是一种很好的表现，肯思考会动脑。其实这个问题在你第一次遇到的时候，你想想你是怎么处理的，如果要你求出两院的公共弦，你可能会联立两个圆的方程解出他们的交点再求出这两点所确定的直线，多做几次这种题目你就会发现你问的这个规律，而且在老师第一次讲这类题时也会要求你记住这个规律。
但是事实上你要求两圆的公共弦就是要求也只要求通过两圆公共交点的表达式，这是一个一次的表达式。所以可以通过两圆的表达式联立得到，做减法就是这种处理方法。

Answer 5

本来就是去了二次项，这个其实真的没有必要追究了，我们不是数学家不是研究一加一为什么等于二，我们只是中国的一名学生，有些东西你只要记住并应付考试就行，记住：你是在应试教育的国家！我高中时候和你一样一定知道为什么会是去了二次项，现在发现好傻啊，浪费时间！