要求答案x+y+z=1,x的平方+y的平方+z的平方=3,求xyz的最大值

Question

本题如何求解啊

Answer 1

x+y=1-z x^2+y^2+z^2=3 x+y+z=1平方作差得xy+xz+yz=-1
即xy+z(x+y)=-1
代入xy+z(1-z)=-1 xy=-1-z(1-z) x+y=1-z
看成方程判别式>=0 -1<=z<=5/3
xyz=z*(-1-z(1-z)=z^3-z^2-z<=27分之5
所以xyz的最大值是27分之5

Answer 2

x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=3,求xyz的最大值

x+y+z=2
x^2+y^2+z^2=3
所以xy+yz+zx=(1/2)[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]=1/2

又因为左式第一项
1/(xy+z-1)=1/[xy+(2-x-y)-1]=1/[(x-1)(y-1)]
同理
1/(yz+x-1)=1/[(y-1)(z-1)]
1/(zx+y-1)=1/[(z-1)(x-1)]
三式相加（此时通分便很简单）得：
(3-x-y-z)/[(1-x)(1-y)(1-z)]
1/[(1-x)(1-y)(1-z)]
=1/(1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz)
=1/(1-2+1/2-1)
=-2/3xyz为实数，且xyx+y=13yzy+z=14xzx+z=1

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x+y=1-z x^2+y^2+z^2=3 x+y+z=1平方作差得xy+xz+yz=-1
即xy+z(x+y)=-1
代入xy+z(1-z)=-1 xy=-1-z(1-z) x+y=1-z
看成方程判别式》=0 -1《=z《=5/3
xyz=z*(-1-z(1-z)=z^3-z^2-z
学过导数的话就好了求导，判断增减-1《=z《=-1/3增 -1/3《z《1减1《=z《=5/3增
最后求得5/27

Answer 3

解：∵x+y+z=1,
∴x+y=1-z
（x+y)²=(1-z)²，
又（x+y)²/4≥xy，
∴（1-z)² /4≥xy,
∵x+y+z=1
∴(x+y+z)²=1
x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)=1
∵x²+y²+z²=3
∴3+2(xy+yz+zx)=1
xy+yz+zx=-1
xy=-1-z(x+y)=-1-z(1-z）
xyz=z[-1-z(1-z）]=z[-1-z+z²]
设f(z)=z[-1-z+z²],对f(z)求导得-1-2z+3z²
使-1-2z+3z²=0 极值点为z=1 、z=-1/3

∴（1-z)² /4≥-1-z(1-z）
（1-z)² ≥-4-4z+4z²
3z²-2z-5≤0
-1≤ z ≤5/3
将z=1 、z=-1/3、z=-1、z=5/3代入f(z)得-1、5/27、-1、5/27
xyz的最大值为5/27

Answer 4

即xy+z(x+y)=-1

代入xy+z(1-z)=-1 xy=-1-z(1-z) x+y=1-z

看成方程判别式》=0 -1《=z《=5/3

xyz=z*(-1-z(1-z)=z^3-z^2-z

学过导数的话就好了求导，判断增减-1《=z《=-1/3增 -1/3《z《1减1《=z《=5/3增

最后求得5/27

Answer 5

1/27