求解一条高数 忘高手赐教

Question

求解一条高数，设F（x）可导，以2为周期函数，满足f(1+x)+2f(1-x)=2x+(sinx)2次方 求f（x）在x=3的切线斜率

通常情况下，是先得出f(1)=0 再根据极限的定义来做 得x=3时，导数为-2.

我的错误做法是
直接求导 得f'(1+x)-2f'(1-x)=2+sin2x
当x=0时，f'(1)=-2 所以 f'(3)=-2
但是 x=2时 应该是f'(3)-2f'(-1)=2+sin4
因为f'(-1)=f(3) 所以 f(3)=-2-sin4
为什么
我的意思是我的做法到底错在哪里

Answer 1

你好！

【f'(-1)=f'(3)】这一步出错。
根据周期可以得出两点的函数值相等，并不能得出导数值相等。

按照你的思路，正确的做法如下：

求导 得f'(1+x)-2f'(1-x)=2+sin2x
令x=2得f'(3) - 2f'(-1)=2+sin4
令x= -2得f'(-1) - 2f'(3) = 2 - sin4
两式联立解得 f'(3) = -2

追问

请赐教，既然f(x)为周期函数，它的倒数不应该也是周期相同的函数吗，为什么f'(-1)不等于
f‘（-1+2+2）=f’(3)呢，求教！

追答

你好！我错了，是相等的。
但是可能题目本身有问题。
详见http://tieba.baidu.com/p/1259886359

Answer 2

请检查题目：
f(1+x) + 2f(1-x) = 2x + (sinx)² 这个等式是否只对 x->0 成立？

Answer 3

复合函数，注意概念和自变量。
尤其在这里，没有具体的解析式。

设u=1+x, v=1-x
则对x求导后，左边为
f'(u)u(x)'+2f'(v)v'(x)
即
f'(u)-2f'(v)
显然这里，u、v只在x=0时相等
故认为 f'(u)=f'(v) 是不对的。

Answer 4

问题多多：
sin4是不应该出现的。既然以2为周期，则sin2(0+2)应该等于sin2(0).

Answer 5

一个函数是周期函数，其导函数不一定也是周期函数，即使是周期函数，周期也有可能不同。这是关键

Answer 6

先冒昧问一下 ，这道题是否有错误，若先带入1得f（1）=0 。带入2得f(3)+2f(-1)=4+(sin2)^2。带入 -2得f（-1）+2f（3）=-4+（sin2）^2。联立得f（-1`）-f（3）=8。而这是不可能的与原提到周期函数不符。所以，是不是这道题有问题？