设向量a1,a2,......as(s>=2)线性无关,且β1=a1+a2,β2=a2+a3,...βs-1=a(s-1)+as,bs=as+a1,讨论向量组β1,

Question

设向量a1,a2,......as(s>=2)线性无关,且β1=a1+a2,β2=a2+a3,...βs-1=a(s-1)+as,bs=as+a1,讨论向量组β1,β2,......βs的线性相关性,

Answer 1

证明1: 设 k1β1+k2β2+...+k(s-1)β(s-1)+ksβs = 0
整理得: (k1+ks)a1 + (k1+k2)a2 + ...+ (k(s-1)+ks)as = 0
由 a1,a2,a3,...,as线性无关, 得
k1+ks = 0
k1+k2 = 0
k2+k3 = 0
...
k(s-1)+ks = 0

由 k1+k2 = 0 得 k1 = -k2
由 k2+k3 = 0 得 k2 = -k3, 所以 k1=k3.
....
得 k1=k3=k5=...
k2=k4=k6=...
且 k1=-k2

当s奇数时. k1=k3=k5=...=ks,k2=k4=k6=...=ks-1.
但 由k1+ks = 0 得 k1=-ks
故 k1=k3=k5=...=ks=0.
再由 k1=-k2, 得 k2=k4=k6=...=ks-1=0.
所以 β1,β2,...,βs 线性无关.

当s为偶数时.
k1=k3=k5=...=ks-1
k2=k4=k6=...=ks
再由 k1=-k2, 得
k1=k3=k5=...=ks-1=-k2=-k4=-k6=...=-ks.

取k1=1, 则k3=k5=...=ks-1=1,k2=k4=k6=...=ks=-1
即找到了一组不全为0的数, 满足
β1-β2+...+β(s-1)-βs = 0
所以 β1,β2,...,βs 线性相关.

证明2. (β1,β2,...,βs)=(a1,a2,...,as)K
K =
1 0 0 ... 0 1
1 1 0 ... 0 0
0 1 1 ... 0 0
... ...
0 0 0 ... 1 0
0 0 0 ... 1 1

因为a1,a2,...,as线性无关
所以 r(β1,β2,...,βs)=r[(a1,a2,...,as)K]=r(K).

因为 |K| = 1+(-1)^(s-1)
所以当s为奇数时, |K|=2≠0, r(K)=s,
所以 r(β1,β2,...,βs)=s, 故 β1,β2,...,βs 线性无关.

当s为偶数时, |K|=0, r(K)<s,
所以 r(β1,β2,...,βs)<s, 故 β1,β2,...,βs 线性相关.

Answer 2

(β1,β2...βs)等于(a1,a2....as)右乘下面的矩阵
1 1
1 1
1 1
。。。
1 1
1 1
s=2时，这个矩阵不满秩，那么β向量组线性相关
s>2时，这个矩阵满秩，所以β向量组还是无关的

追问

你的结果是错的啊,

追答

啊，，刚反应过来，s为偶数的时候矩阵都是不满秩的。。。那时候是相关
奇数的时候才满秩。。才是无关的。。

(a1,a2,......as)的秩为s
那个系数矩阵的秩最大为s，当它等于s的时候，那么(β1,β2...βs)的秩就也等于s，
当系数矩阵的秩小于s的时候，(β1,β2...βs)的秩必小于s，就不满秩了。就有上述结论

理论证明的话，用西尔维斯特不等式，R(AB)≥R(A)+R(B)-n.（A是m*n的，B是n*p的）