线性代数证明题：设向量组a1,a2,a3,......as的秩为r1,向量组β1，β2,.....βt的秩为r2,(接下面）

Question

向量组a1,a2,...as,β1,β2,...βt的秩为r3，证明：
max{r1,r2}≦r3≦r1+r2
O(∩_∩)O谢谢！

Answer 1

子向量组的秩不会超过整个向量组的秩，因此
max{r1,r2}<=r3。
取第一个向量组的一个极大无关组，不妨设为
a1,a2,。。。，ar1
取第二个向量组的一个极大无关组，不妨设为
β1，β2，。。。，βr2，
则第三个向量组可由向量组
a1,a2,。。。，ar1，β1，β2，。。。，βr2
线性表出，因此r3<=上面向量组的秩<=r1+r2.

追问

谢谢
我还想问一道题，
设向量组a1,a2,a3线性无关，向量β≠0满足(ai,β)=0,i=1,2,3,判断向量组a1,a2,a3,β的线性相关性。
均与≦β正交，不是线性无关吗？

追答

判断四个向量的无关性？答案是无关。
设k1a1+k2a2+k3a3+k4b=0，（*）
等式与b做内积（即左乘b^T)得
k1*0+k2*0+k3*0+k4（b，b）=0，
因为（b，b）不为0，于是k4=0，
代入（*）式，由a1，a2，a3的无关性知道
k1=k2=k3=0，因此四个向量无关。