看上去简单却十分难的一道几何证明题 求数学高手解答

如图,△ABC中,BE、CD分别是∠ABC,∠ACB的角平分线,且BE=CD。求证:△ABC是等腰三角形。
……

证法一 设AB≠AC,不妨设AB>AC,这样∠ACB>∠ABC,从而∠BCD=∠DCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBD。
在△BCD和△CBE中,因为BC=BC, BE=CD,∠BCD>∠CBE.
所以 BD>CE。 (1)
作平行四边形BEGD,则∠EBD=∠DGC,EG=BD,FG=BE=CD,连CG,
故△DCG为等腰三角形,所以∠DCG=∠DGC。
因为∠DCE>∠DGE,所以∠ECG<∠EGC。
故得 CE>EG=BD. (2)
显然(1)与(2)是矛盾的,故假设AB≠AC不成立,于是必有AB=AC。
所以△ABC为等腰三角形。

证法二 在△ABC中,假设∠B≥∠C,则可在CD上取一点D',使∠D'BE=∠ECD',这有CD≥CD'。
延长BD'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'D',有ΔA'BE∽ΔA'CD'.
从而A'B/A'C=BE/CD'≥BE/CD=1.
那么在△A'BC中,由A'B≥A'C,得:
∠A'CB≥∠A'BC,即∠C≥(∠B+∠C)/2,故∠B≤∠C。
再由假设∠B≥∠C,即有∠B=∠C。
所以△ABC为等腰三角形。

参考资料:百度知道

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第1个回答  2012-05-10
题目与图有误?应该题目如下:
如图,△ABC中,BD、CE分别是∠ABC,∠ACB的角平分线,且BE=CD。求证:△ABC是等腰三角形。
证明:因为BD、CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,所以由角平分线定理得:
AC:BC=AE:BE AB:BC=AD:CD
AE=AC.BE/BC........(1) AD=AB.CD/BC.........(2) (1)/(2)得:∽
AE:AD=(AC.BE.BC)/(AB.CD.BC),由于BE=CD,则
AE:AD=AC:AB
在△BAD与△CAE中,有公共角∠A,又有其对应边成比例,根据相似三角形的判断定理得
△BAD∽△CAE 由相似三角形的特性知道,其对应角相等,有
∠ABD=∠ACE 即1/2∠A=1/2∠B ∠A=∠B
故:三角形ABC为等腰三角形。
证毕追问

原题无误 此题难度很大

追答

证明:设△ABC各角∠A、∠B、∠C 所对应的边分别为a、b、c。
已知∠B、∠C 的角平分线 BE=CD
假设边AB>AC, 即有 c>b , ∠C>∠B
我们试以△ABC的边、角来表示角平分线BE、CD,同时利用三角形
的面积公式到以下等式:
S△ABC= 1/2a.b.sinB=1/( 2) c.BE.sinB/2 + 1/( 2) a.BE.sinB/2
由此可得: BE=(2cosB/2)/(1/c +1/a)
同理可得: CD=(2cosC/2)/(1/b+1/a)
又 0 cosC/2; (∠C>∠B)
又 1/c+1/ab)
BE=(2cosB/2)/(1/c +1/a)> (2cosC/2)/(1/b+1/a)=CD
得: BE>CD
此结果与已知条件BE=CD矛盾,又我们再假设AB<AC,用同样的方法
得到BE<CD。所以在本题的已知条件下,两底角的角平分线相等,其
对应的两条边不相等的可能性不存在!
故:AB=AC 即△ABC为等腰三角形。
(同时我们也证明了:“任意三角形内大边上的角平分线较短”)

第2个回答  2012-05-10

应该是BD、CE吧?

后面的字母确定对吗?

追问

原题无误 此题难度很大

第3个回答  2012-05-20
证法一 设AB≠AC,不妨设AB>AC,这样∠ACB>∠ABC,从而∠BCD=∠DCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBD。
在△BCD和△CBE中,因为BC=BC, BE=CD,∠BCD>∠CBE.
所以 BD>CE。 (1)
作平行四边形BEGD,则∠EBD=∠DGC,EG=BD,FG=BE=CD,连CG,
故△DCG为等腰三角形,所以∠DCG=∠DGC。
因为∠DCE>∠DGE,所以∠ECG<∠EGC。
故得 CE>EG=BD. (2)
显然(1)与(2)是矛盾的,故假设AB≠AC不成立,于是必有AB=AC。
所以△ABC为等腰三角形。
第4个回答  2012-05-10
不太确定你到底是题设里说错了,还是图里面的D E标反了。改一下亲~追问

是两条角平分线相等

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