计算三重积分fffz^2dxdydz,其中 是由椭圆球x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1所围成的空间区域，

Question

我想知道的是对x，y积分怎么整的。

Answer 1

可以用截面法解决
空间区域可表示为{(x,y,z)|x^2/a^2+y^2/b^2<=1-z^2/c^2,-c<=z<=c}
作截面D是竖坐标为z的平面截空间区域所得到的平面闭区域
则∫∫∫z^2dxdydz=∫[-c,c]z^2dz∫∫[D]dxdy
=πab∫[-c,c](1-z^2/c^2)z^2dz
=(4πabc^3)/15

追问

如图，就是这一步没有搞明白怎么来的。

追答

截面是一个椭圆
∫∫[D]dxdy是椭圆面积=πab(1-z^2/c^2)

椭圆面积公式
如果椭圆为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
S=πab

你将截面x^2/a^2+y^2/b^2=1-z^2/c^2化成椭圆一般式
再用公式可以算出