已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率2分之根号2,

Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率2分之根号2,并且直线y=x+b是抛物线y^2=4x的一条切线.
(1)求椭圆的方程
(2)过点S(0,-1/3)的动直线L交椭圆C于A,B两点,试问在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T 若存在求T的坐标 若不存在 请说明理由

Answer 1

(1)y=x+b是抛物线y^2=4x的一条切线，所以(x+b)²=4x的解为一个
即△=0，解得b=1
e=c/a=√2/2，所以a=√2
所以椭圆的方程：x²/2+y²=1
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2)T(x,y)
①当L不垂直X轴时，设L为：y=kx-1/3 代入x²/2+y²=1得
(2k²+1)x²-4/3*kx-16/9=0
所以x1+x2=(4/3*k)/(2k²+1)，x1*x2=(-16/9*k)/(2k²+1)
因为T在以AB为直径的圆上，所以AT⊥BT，即向量AT*向量BT=0
即(x1-x)(x2-x)+(y1-y)(y2-y)=0，把y=kx-1/3代入y1,y2
化简得(1+k²)x1*x2-【x+(y+1/3)*k】(x1+x2)+x²+(y+1/3)²=0，代入x1+x2和x1*x2，
化简得[-16/9-4/3(y+1/3)]k²-4/3*x*k+x²+(y+1/3)²-16/9=0
因为要恒过T点，所以与k无关，所以k前面的系数都为0，即
-16/9-4/3(y+1/3)=0
-4/3*x=0
x²+(y+1/3)²-16/9，解得x=0，y=1，所以T(0，1)
②当L垂直X轴时，得A(0，1)，B(0，-1)，此时也过T点。
所以T(0，1)即所求。
累！不懂的地方可以追问我

Answer 2

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