已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,左、右焦点分别为F1.F2，定点p

Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,左、右焦点分别为F1.F2，定点p（2，√3），且|F1F2|=|PF2|
1.求椭圆C的方程
2.设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M.N两点，直线F2M与F2N的斜率和为零，求m与k的关系

Answer 1

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,左、右焦点分别为F1.F2，定点p（2，√3），且|F1F2|=|PF2|
1.求椭圆C的方程
2.设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M.N两点，直线F2M与F2N的斜率和为零，求m与k的关系
1. 解析：∵椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1.F2，定点p（2,√3），且|F1F2|=|PF2|
4c^2=(2-c)^2+3==>3c^2+4c-7=0==>c1=1，c2=-7/3(舍)
又离心率e=√2/2，∴a=√2，b=1
∴椭圆C ：x^2/2+y^2=1
2. 解析：设直线l：y=kx+m==> y^2=k^2x^2+2kmx+m^2
代入椭圆x^2/2+y^2=1
得(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-2=0
设M(x1,y1)，N(x2,y2)
则x1+x2=-4km/(1+2k^2)，x1x2=(2m^2-2)/(1+2k^2)
∵直线F2M与F2N的斜率和为零
Y1/(x1-1)=-y2/(x2-1)==>y1/y2=-(x1-1)/ (x2-1)
(kx1+m)/ (kx2+m)=(1-x1)/ (x2-1)
kx2+m- kx1x2-mx1=kx1x2+mx2-kx1-m
2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0
2k(2m^2-2)-(m-k)4km-2m(1+2k^2)=0
∴m+2k=0==>m=-2k

Answer 2

1，两个方程解两个未知数，线段想等可用两点间距离公式解出常数c，然后利用离心率接触a，则椭圆方程可知。2，用韦达定理连理方程，再利用斜率为零求出m和k关系