已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈{[π/12，π/6]}，则该椭圆离心率e的取值范围是？

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′| ∴|AF|+|BF|=2a ……①
O是Rt△ABF的斜边中点,∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα ……②
|BF|=2ccosα ……③
②③代入① 2csinα+2ccosα=2a
∴c/a=1/(sinα+cosα)
即e=1/(sinα+cosα)=1/√2sin(α+π/4)
∵α∈{[π/12，π/6]}

∴α+π/4∈{[π/12，π/6]}
∴e∈{[√3-1，√6/3]}