已知抛物线y=ax^2,求线上任意一点p的垂线与y轴交点的公式。

Question

当P点接近原点时交点会怎样。

Answer 1

重点：

（1）抛物线的定义、标准方程及其几何性质；

（2）直线与圆锥曲线的位置关系问题及直线与圆锥曲线相交所得弦的性质的探讨。

难点：

（1）抛物线的标准方程的推导及其几何性质的应用；

（2）直线与圆锥曲线相交所得弦的性质的探讨。

三. 知识分析

（一）抛物线

1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（Fl）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

说明与思考：

（1）该定义用符号表示为：（其中d＝|MN|表示点M到直线l的距离）

（2）同学们想一想，如果不强调“在平面内”，会得到什么？

（3）如果定点F在直线l上，我们将得到什么？（过F且垂直于l的直线）因此在定义中我们强调了“Fl”。

（4）过F向l作垂线FK，与抛物线交于点O，研究一下F，O，K三点有什么关系？

（5）根据作图过程，思考一下直线FK与抛物线有什么关系？

图1

（6）如图2，在直线l上有一动点N，过N与l垂直的直线与线段NF的垂直平分线交于点M，请同学们研究一下，动点M的轨迹是什么？（显然，点M到直线l的距离等于|MF|，从而点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线）

2、抛物线的标准方程

推导方法：求曲线方程的一般步骤。

建系：由定义可知直线KF是曲线的对称轴；所以把KF作为x轴可以使方程不出现y的一次项。因为线段KF的中点适合条件，所以它在抛物线上。因而以KF的中点为原点，就不会出现常数项。这样建立坐标系，得出的方程形式比较简单。（如图3）

图3

设标：设抛物线上动点M的坐标为（x，y）

列关系：

写方程：我们设焦点到准线的距离为|KF|=p（p>0），这样p的集合意义也就明确了，于是我们顺势得出焦点F和准线。这样，

，而我们就得到了方程：

化简，整理：

说明：它表示焦点在x轴正半轴上，坐标是，准线是的抛物线。

事实上，抛物线的焦点还可以在x轴的负半轴、y轴的正半轴、y轴的负半轴上，会得到不同形式的抛物线的标准方程。

3、设抛物线的焦点到准线的距离为p（p>0），它的标准方程的四种形式及几何性质列表如下：

图形

标准

方程
y2=2px

（p>0）
y2=－2px

（p>0）
x2=2py

（p>0）
x2=－2py

（p>0）

对称轴
xè½´
yè½´

顶点
原点

离心率
e=1（即所有的抛物线形状都相同）

焦点

坐标

准线

方程

4、几个有用的结论：

（1）顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线可设为y2=mx或x2=my。

（2）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦叫做抛物线的“通径”，利用抛物线的定义我们可以得到：抛物线的通径长等于其焦准距的2倍。如抛物线y2=2px（p>0）的通径长等于2p。

（3）设直线L为抛物线y2=2px（p>0）过焦点的一条直线，且该直线与抛物线交于两点M，N，则利用抛物线的定义我们也可以得到，其中分别表示点M，N的横坐标。

5、抛物线与双曲线比较：

（1）从圆锥曲线的定义来看，虽然双曲线与抛物线有其共同点，但由于比值e的取值不同，从而双曲线与抛物线上的点的性质存在着差异；

（2）曲线的延伸趋势不相同，当抛物线y2=2px（p>0）上的点趋于无穷远时，它在这一点切线的斜率接近于x轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于与x轴平行；而双曲线上的点趋近于无穷远时，它的切线的斜率接近于它的渐近线的斜率；

（3）双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线。

6、抛物线定义的应用

（1）判断曲线类型

【例1】如图4所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

解：由于D1C1⊥面BB1C1B，所以P到直线C1D1的距离等于P到点C1的距离。因此，“P到直线BC与直线C1D1的距离相等”实际上就是“P到定点C1的距离与到定直线BC的距离相等”。由于点P、点C1及直线BC在同一平面BB1C1C内，所以点P的轨迹所在的曲线是抛物线，选D。

（2）求最值

由于抛物线上的点到焦点的距离等于到其准线的距离，因此，在解决有关抛物线的最值问题时，合理转化，化折（线）为直（线），往往可以避繁就简，快速求解。

【例2】若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时，点P的坐标是（）

A.（0，0） B.（1，1） C.（2，2） D.（0.5，1）

解：如图5，点A在抛物线内部。由抛物线的定义知：|PF|等于P到准线的距离。

图5

根据几何关系易知|PA|+|PF|的最小值是由A点向抛物线的准线作垂线（B为垂足）时垂线段AB的长度。从而求得AB与抛物线的交点为（2，2），故选C。

【例3】已知抛物线x2=4y，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为（12，6），求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值。

解：如图6所示，易判断知点A在抛物线外侧。

设P（x，y），则P到x轴的距离即为y的值。

设P到准线y=－1的距离为d，则y=d－1。

故|PA|+y=|PA|+|PF|－1。

由图5可知，当A，P，F三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值|FA|=13。故所求距离之和

的最小值为12。

（3）求轨迹方程

【例4】求圆心在抛物线y2=2x上且与x轴及抛物线的准线都相切的圆的方程。

解：如图7，设圆心为P且A，F为切点，由|PA|=|PF|结合

抛物线的定义知F为抛物线的焦点，即F。

因此，P或P，从而圆的半径r=1。

故所求圆的方程为：或

（4）求三角形的面积

【例5】设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若|OF|=a，|PQ|=b，求△OPQ的面积。

解：如图8所示，由题意知抛物线的方程为y2=4ax（a>0），F（a，0），

设，由抛物线的定义知：

所以

由

故

设过F的弦的斜率为k，则其方程为y=k（x－a）

将其与抛物线方程联立知：ky2－4ay－4a2k=0

故

若斜率不存在，则其两个交点为（a，2a）与（a，－2a）

同样有

那么

因此，

7、与抛物线的弦有关的问题

常见的是求焦点弦（或非焦点弦）的弦长问题或弦中点轨迹问题。

【例6】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线相交于两点A，B，求线段AB的长。

解：方法一 由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0）

所以直线AB的方程为y=x－1，①

将方程①代入抛物线方程y2=4x，得（x－1）2=4x

化简，得：x2－6x＋1=0

解之，得

将的值代入方程①，得

即A，B的坐标分别为A（），B（）

∴

方法二 如图，由抛物线的定义可知

图9

∴ ②

由法一，可知

∴由韦达定理，得

代入②式，得

方法三 同法二，有

由弦长公式，得

点评：法一是求弦长一般方法，但运算量较大，并对含有字母的方程不好处理；法二是从抛物线的定义入手，是数形结合的典型应用；法三利用了弦长公式，避免了求交点坐标，是求弦长的通解通法。

【例7】已知抛物线y2=2x，过点Q（2，1）作一条直线交抛物线于A、B两点，试求弦AB中点的轨迹方程。

解：方法一 设AB中点为M，并设A、B、M点坐标分别为（）（）（x，y）

根据题意有

③

④

⑤

④代入①－②，得

∵ ⑥

⑥代入⑤，得，即

⑦

若，此时AB的中点为（2，0），（2，0）也在抛物线⑦上

∴所求抛物线方程为

方法二 设AB的中点为M（x，y）、A（x＋△x，y＋△y）、B（x－△x，y－△y）

则 ①

②

③

其中△x≠0，①－②得

又△x≠0

∴

（以下同解法一）

方法三 设过Q（2，1）的任意一条弦AB的方程为 ①

①与联立，消去x

得 ②

方程②的两个根y1、y2分别是弦AB两个端点A、B的纵坐标

由韦达定理可得

设AB的中点M（x，y），则有 ③

③代入①，整理得

若k不存在时，AB中点为（2，0）

（以下同解法一）

点评：本题上面给出的三种解法，都是解此类问题具有共性的方法，不管是哪一种方法都与A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），Q（2，1）点的坐标有关，并且都直接或间接的利用了如下的关系：

从以上式子中消去参数得到f（x，y）=0，即为所求的轨迹方程。

（二）直线与圆锥曲线

1、直线与圆锥曲线的位置关系

（1）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点，具体如下：

①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已到直线的距离的最大值或最小值来解决。

②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与相切或与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行。

③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。

（2）从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断。

直线L方程为Ax+By+C=0，圆锥曲线方程f（x，y）=0

由消元（x或y），如消去y后得：ax2＋bx＋c=0

若f（x，y）=0表示椭圆，上述方程中a≠0。为此有：

①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行（或重合）。

②若a≠0，设△=b2－4ac

直线与圆锥曲线的位置关系重点是相交：相交联立方程组有两组不等的实数解二次方程有两个不等实数解判别式大于零。

2、直线与圆锥曲线相交的弦长公式

对于求一般弦长可以用以下求法：

求弦长两交点间的距离

弦长：（直线与圆锥曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2），直线斜率为k）

（1）一般弦长公式。

（2）若弦过焦点：可用焦半径公式来表示弦长，简化运算．

如椭圆（a＞b＞0）：

如抛物线y2=2px（p>0）：

【典型例题】

例1. 已知椭圆与一直线相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程。

分析：本题可设出直线的方程，然后建立方程组，消去y后得到一元二次方程，利用韦达定理来求解；也可通过设出A、B两点坐标代入椭圆方程中，作差整理，利用弦的中点坐标与直线AB的关系来解决。

解法一：设通过M（1，1）的直线AB的方程为：

代入椭圆方程，整理得：

设A、B的横坐标分别为，则

解得

故AB方程为

解法二：设A（），B（），代入椭圆方程：

两式相减得：

变形得

由于AB中点M的坐标为（1，1）

∴

∴

即直线AB的斜率

∴直线AB的方程为：

即

例2. 过双曲线的左焦点，作倾斜角为的弦AB，求：

（1）弦AB的长；

（2）△的周长（F2为双曲线的右焦点）。

分析：（1）利用弦长公式。

（2）求△F2AB的周长，充分利用双曲线的定义。

解：（1）双曲线的左焦点F1（－2，0），右焦点F2（2，0）

直线AB的方程为：，代入双曲线方程

整理得：

设A（）、B（）

则

∴

（2）双曲线右准线方程，设A（）、B（）

A到准线的距离为d

则

∴

同理

∴△

例3. 抛物线方程为，直线与x轴的交点在抛物线的准线的右边。

（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；

（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线的距离为，求此直线的方程。

分析：本题综合运用了抛物线的性质与方程，抛物线与直线的位置关系，点到直线的距离，函数与方程的有关知识及综合解决问题的能力。

（1）证明：抛物线的准线方程是，直线与x轴的交点为（m，0），由题设交点在准线右边，得。

由

而判别式

又p>0及，可知△>0

因此，直线与抛物线总有两个交点

（2）解：设Q、R两点的坐标分别为（）、（）

由（1）知，的两根

∴

由OQ⊥OR，得

又Q、R为直线x+y=m上的点

因而

于是

∴

由

（3）解：由于抛物线的焦点F坐标为（），于是有

又∵

解得

但m≠0且，因而舍去

故所求直线方程为

例4. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（－m，0）（m为大于0的常数）。

（1）求椭圆的方程；

（2）设Q是椭圆上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的斜率。

分析：本题利用了直线、椭圆，定比分点的有关知识，第（1）小题用待定系数法，第（2）小题要求考虑全面计算到位。

解：（1）设所求椭圆方程为：

由已知得：

所以

故所求椭圆方程为：

（2）设Q（），直线l：，则点M（0，km）

当时，由于F（－m，0），M（0，km）

由定比分点坐标公式，得：

又点Q在椭圆上，所以

解得

当

，

于是

故直线l的斜率为0或

【模拟试题】

1. 焦点为（0，）的抛物线的标准方程为（ ）

A. B.

C. D.

2. 若抛物线，经过点（－2，－4），则此抛物线的方程为（ ）

A. B.

C. D.

3. 已知抛物线，定点A（，1），动点P在抛物线上，则|PA|＋|PF|（F为抛物线的焦点）的最小值为（ ）

A. B. C. 1 D. 2

4. 圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴及该抛物线的准线都相切的圆的方程为（ ）

A. B.

C. D.

5. 对于抛物线上任一点Q，点P（a，0）都满足，则a的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

6. 过双曲线的右焦点，作一条长为的弦AB（A、B均在双曲线的右支上），则A、B两点到双曲线右准线的距离之和为（ ）

A. 8 B. C. D.

7. 与直线有且只有一个公共点的双曲线方程一定不是（ ）

A. B.

C. D.

8. 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则的值等于（ ）

A. B. C. 2a D.

9. 已知点A（－2，3）与抛物线的焦点的距离为5，则p=_______。

10. 顶点在原点，对称轴为x轴，顶点到准线的距离为的抛物线的方程是___________。

11. 已知双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则双曲线的方程为______________。

12. 直线与抛物线仅有一个公共点，则a=______________。

13. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，求抛物线的标准方程。

*14. 若抛物线上有三点A（2，），B（，－4），C（6，），F为焦点，且|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，求p、的值。

15. 由点P（－2，0）向抛物线y2 = 4x引弦，求弦的中点的轨迹方程。

16. k为何值时，抛物线上总存在两点，关于直线l：对称？

17. 已知直线l：y=2x＋m，椭圆C：。

（1）当m为何值时，l与C有两个不同的交点？没有交点？

（2）当m为何值时，直线l被椭圆C所截得的弦长为？

18. 如图，正方形ABCD在直角坐标系内，已知一边AB在直线上，点C、D在抛物线上，求正方形的面积。

慢慢看

Answer 2

（1）对称轴是直线x＝1，点A的坐标是(3，0)．
（2）①如图1，连接AC、AD、CD，过点D作DM⊥y轴于M．
方法一：
∵A(3，0)，C(0，－b)，D(1，－a－b)．
∴OA＝3，OC＝b，MC＝a，MD＝1．
∵以AD为直径的圆经过点C，∴∠ACD＝90°．
∴∠OCD＋∠MCD＝90°，又∵∠OCD＋∠ODC＝90°．
∴∠MCD＝∠ODC，∴Rt△OCD∽Rt△MDC．
∴OA/OC＝MC/MD，即3/b＝a/1．
∴ab＝3．
又∵抛物线y＝ax ²－2ax－b与x轴的一个交点为B(－1，0)．
∴a(－1)²－2a(－1)－b＝0，即b＝3a．
联立ab＝3，b＝3a，解得a＝－1，b＝－3（∵a＞0，舍去）或a＝1，b＝3
∴抛物线的解析式为y＝x²－2x－3
方法二：
∵A(3，0)，C(0，－b)，D(1，－a－b)．
∴AC＝√(9＋b²)，CD＝√(1＋a²)，AD＝√[4＋(－a－b)²]
∵以AD为直径的圆经过点C，∴∠ACD＝90°．
∴△ACD是直角三角形，∴AC²＋CD ²＝AD ²
即9＋b ²＋1＋a ²＝4＋(a＋b)²
∴ab＝3
以下同方法一．
（3）如图2，当四边形BAFE为平行四边形时，则EF‖BA且EF＝BA．
∵BA＝3－(－1)＝4，∴EF＝4．
∵对称轴是直线x＝1，∴点F的横坐标为5
将x＝5代入y＝x²－2x－3，得y＝5²－2×5－3＝12．
∴F（5，12）
根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F，使得四边形BAEF是平行四边形，此时点F坐标为（－3，12）
如图3，当四边形BEAF为平行四边形时，点F与点D重合，
此时点F的坐标为（1，－4）
综上所述，满足条件的点F的坐标为（5，12），（－3，12）或（1，－4）．