a+b+c=1 a^2+b^2+c^2=2 a^3+b^3+c^3=3 求a^4+b^4+c^4 的值

Question

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怎么得数不一样啊

Answer 1

因为a+b+c=1
所以(a+b+c)^2=1
即a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
由于a^2+b^2+c^2=2
则ab+ac+bc=-1/2
利用恒等式a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=5/2
可解出abc=1/6
因为ab+ac+bc=-1/2
所以(ab+ac+bc)^2=1/4
a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc(a+b+c)=1/4
那么a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=1/4-1/3=-1/12
下面计算a^4+b^4+c^4
a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=4+1/6=25/6
是我开始算错了..........

Answer 2

(a+b+c)^2
=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
=1
ab+ac+bc=-1/2
(a+b+c)^3
=a^3+b^3+c^3+3(ab+ac+bc)(a+b+c)-3abc
=1
abc=1/6
(a+b+c)^4
=a^4+b^4+c^4+4a^3b+4a^3c+4b^3a+4b^3c+4c^3a+4c^3b+6a^2b^2+6a^c^2+6b^2c^2+12a^2bc+12ab^2c+12abc^2
=1
4(ab+ac+bc)(a^2+b^2+c^2)+3(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)+8(a+b+c)abc-2(a^4+b^4+c^4)
=1
a^4+b^4+c^4=25/6