A+B+C=1 A^2+B^2+C^2=2 A^3+B^3+C^3=3 求:A^4+B^4+C^4=?

Question

如题：已知 A+B+C=1
A^2+B^2+C^2=2
A^3+B^3+C^3=3
求:A^4+B^4+C^4=?

解：因为 (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2（ab+ac+bc）=1
=>ab+ac+bc= -1/2 .......@1

又有 (a+b+c)^3=3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+6abc-2(a^3+b^3+c^3)
=>abc= 1/6 .......@2
由@1 =>(ab+ac+bc)^2=a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2+2abc(a+b+c)
=>a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2= (-1/2)^2-1/3= -1/12 ......@3
又因为 (a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2)
=>a^4+b^4+c^4=4-(-1/12)=25/6
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上面是我的解法,
我想不明白的是答案是对的,
但是a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2 =-1/12 .....@3 与a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2 因该[ >=0 ]矛盾,百思不得其解,
忘达人赐教,谢谢!!!!!!!!!!
呵呵，大家真的是一语点醒梦中人啊，因为这个是一个初二的题目，我也是给一个朋友做这个题目，结果就按照初二的思维去做这道题，呵呵，真的没想到它可以是虚数，谢谢大家，大家回答我都满意，但是分只能给一个人，那就只有投票决定了 。

Answer 1

我们证明一个更普遍的结论：
命题：如果a1,a2,...,an均不是pi的整数倍，那么│sin（a1+a2+...+an）│<|sin a1|+|sin a2|+...+|sin an|
命题的证明:
先证一个引理：
|sin(x+y)|<=|sin x|+|sin y|，等号成立当且仅当x或y是pi的整数倍。
引理的证明：
|sin(x+y)|
=|sin x*cos y+sin y*cos x|
<=|sin x|*|cos y|+|sin y|*|cos x|
<=|sin x|+|sin y|
等号成立当且仅当x或y是pi的整数倍。
回到命题的证明。
采用数学归纳法。
n=2的时候，只需证|sin(a1+a2)|<|sin a1|+|sin a2|
由引理可知
|sin(a1+a2)|<=|sin a1|+|sin a2|，等号成立当且仅当a1或a2是pi的整数倍，但这是不可能的！（条件里面有a1,a2均不是pi的整数倍）
设n=k时，命题成立。（k>=2）
n=k+1时
设x=a1+...+ak,y=a(k+1)
于是由归纳假设，知|sin x|<|sin a1|+...+|sin ak|
由引理知
|sin (x+y)|<=|sin x|+|sin y|
<|sin a1|+...+|sin ak|+|sin y|
=|sin a1|+...+|sin ak|+|sin a(k+1)|
所以|sin (a1+...+ak+a(k+1))|<|sin a1|+...+|sin ak|+|sin a(k+1)|
命题得证。
回到本题。将本题中的a1,...,an直接带入命题，即得命题的结论。于是本题得证。

回复楼上：楼主的题目似乎有a1,a2...an均属于(0,pi),这条件必不可少啊！
至于普遍性，楼主的题目实际上是要证明a1,a2...an均属于(0,pi)的时候，有|sin(a1+...+an)|<|sina1|+...+|sinan|
我的结论同时也证明了对于a1,a2,..an每个数乘以系数1或者-1然后求代数和也成立，比如|sin(a1-a2+a3+a4+...+an)|<|sina1|+...+|sinan|，这是不是比楼主的结论更普遍呢？
其实证明并不困难，用归纳法更容易表述一些。

已知数列
（1）证明
（2）求数列 的通项公式an.
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有
则

而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立，
令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设
有： 即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项： 所以

,
又bn=－1，所以

Answer 2

a+b+c=1,........[1]
1=(a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
→ab+ac+bc=-1/2 ......[2]
1=(a+b+c)^3 =a^3+b^3+c^3+3(ab+ac+bc)(a+b+c)-3abc
→abc=1/6 ............[3]
由[1][2][3]根据“韦达定理”，得到a,b,c是方程
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
即x^3-x^2-(1/2)x-1/6＝0
的三个根，所以也是方程
x^4-x^3-(1/2)x^2-(1/6)x＝0
的三个根.此方程即为x^4＝x^3+(1/2)x^2+(1/6)x...[4]
将a,b,c代入[4],并且三式相加得
a^4+b^4+c^4
=(a^3+b^3+c^3)+(1/2)(a^2+b^2+c^2)+(1/6)(a+b+c)=25/6.

Answer 3

这个A，B，C并不是定义在实数范围内的啊。
有可能有虚数的(i^2=－1）
这道题主要是考公式么，不用想太多。

Answer 4

你如果已经是高中生的话,那么很快就会学到虚数了.

Answer 5

a^2>=0需要满足a是实数这个特点
我只能说，出这道题目的人也许根本没有想到这一点。