A+B+C=1 A^2+B^2+C^2=2 A^3+B^3+C^3=3 求:A^4+B^4+C^4=?

Question

如题：已知 A+B+C=1
A^2+B^2+C^2=2
A^3+B^3+C^3=3
求:A^4+B^4+C^4=?

解：因为 (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2（ab+ac+bc）=1
=>ab+ac+bc= -1/2 .......@1

又有 (a+b+c)^3=3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+6abc-2(a^3+b^3+c^3)
=>abc= 1/6 .......@2
由@1 =>(ab+ac+bc)^2=a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2+2abc(a+b+c)
=>a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2= (-1/2)^2-1/3= -1/12 ......@3
又因为 (a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2)
=>a^4+b^4+c^4=4-(-1/12)=25/6
==============================================================
上面是我的解法,
我想不明白的是答案是对的,
但是a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2 =-1/12 .....@3 与a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2 因该[ >=0 ]矛盾,百思不得其解,
忘达人赐教,谢谢!!!!!!!!!!
呵呵，大家真的是一语点醒梦中人啊，因为这个是一个初二的题目，我也是给一个朋友做这个题目，结果就按照初二的思维去做这道题，呵呵，真的没想到它可以是虚数，谢谢大家，大家回答我都满意，但是分只能给一个人，那就只有投票决定了 。

Answer 1

你的方法非常正确。其它的都不用考虑，再碰见这类题，就那样做。

Answer 2

有 (a+b+c)^3=3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+6abc-2(a^3+b^3+c^3)
=>abc= 1/6 .......@2
由@1 =>(ab+ac+bc)^2=a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2+2abc(a+b+c)
=>a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2= (-1/2)^2-1/3= -1/12 ......@3
又因为 (a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2)
=>a^4+b^4+c^4=4-(-1/12)=25/6
==============================================================
上面是我的解法,

Answer 3

原因在于：这里的a,b,c,不是实数，而是所谓的“虚数”.
比如若a^2=-1,则这里的a就是虚数.

此题我有另一个解法，供参考.

解答：
注意：a+b+c=1,........[1]
1=(a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
→ab+ac+bc=-1/2 ......[2]
1=(a+b+c)^3 =a^3+b^3+c^3+3(ab+ac+bc)(a+b+c)-3abc
→abc=1/6 ............[3]
由[1][2][3]根据“韦达定理”，得到a,b,c是方程
x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
即x^3-x^2-(1/2)x-1/6＝0
的三个根，所以也是方程
x^4-x^3-(1/2)x^2-(1/6)x＝0
的三个根.此方程即为x^4＝x^3+(1/2)x^2+(1/6)x...[4]
将a,b,c代入[4],并且三式相加得
a^4+b^4+c^4
=(a^3+b^3+c^3)+(1/2)(a^2+b^2+c^2)+(1/6)(a+b+c)=25/6.

Answer 4

25/6

Answer 5

不会啊