跪求 排列组合 题型整理

Question

求各类题型，方法，各一道典型例题
谢谢各位的回答！我会提高悬赏分的！

回 刘树勇a：首先说明，我不是老师，我只是个学生，请不要把我们老师的素质想像的那么低；其次，这不是老师留的作业，况且我也不会无聊到把老师留的作业照搬上来要一个现成的答案然后再原封不动的抄一遍交给老师，这只是我自己为了想要把排列组合学得更扎实一些而自愿想要整理的，因为这一部分是高考中的难点，我想要认真对待；其三，你以为我只是找别人替我整理吗？你不觉得这是毫无意义的吗？这一个星期以来我一直在整理排列组合的问题，我只是怕自己整理的不全面或者分类不科学才会请求知道上的各位朋友帮帮我。如果你不想帮这个忙，请你不要在不了解情况的时候说风凉话。顺便谢谢你的提醒，我知道自己做印象会更深，所以我近期一直在自己整理问题。

嗯，谢谢 jj星海浩瀚。不过我今年高二，我还是希望把这一部分学扎实一些。谢谢你的帮助！

Answer 1

看见你给别人的留言，我只想说一句，我今年高三，我只能说排列组合的类型是比较多，但是，它的确不是高考重点，有时间的话，应该多看看导数，解析几何之类的，那才是大题的必考点

排列组合的基本理论和公式
排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合．
(一)两个基本原理是排列和组合的基础
(1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法．
(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．
这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．
这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．
(二)排列和排列数
(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法．
(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列
当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！
(三)组合和组合数
(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个
这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的．
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于
(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；
(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；
(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
(1)加法原理和分类计数法
1．加法原理
2．加法原理的集合形式
3．分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)
(2)乘法原理和分步计数法
1．乘法原理
2．合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同
[例题分析]排列组合思维方法选讲
1．首先明确任务的意义
例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，
又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。
例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?
分析：对实际背景的分析可以逐层深入
（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，
∴ 本题答案为：=56。
2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合
例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；
第二类：A在第二垄，B有2种选择；
第三类：A在第三垄，B有一种选择，
同理A、B位置互换 ，共12种。
例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；
（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；
（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。
例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。
分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90种。
例6．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?
分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，有种；
第二类：这两人有一个去当钳工，有种；
第三类：这两人都不去当钳工，有种。
因而共有185种。
例7．现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?
分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。
抽出的三数含0，含9，有种方法；
抽出的三数含0不含9，有种方法；
抽出的三数含9不含0，有种方法；
抽出的三数不含9也不含0，有种方法。
又因为数字9可以当6用，因此共有2×(+)++=144种方法。
例8．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。
分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有种停车方法。
3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例9．六人站成一排，求
(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数
(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
第一类：乙在排头，有种站法。
第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法，
共+种站法。
（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。
第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。
共+2+=312种。
例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次测试的有种可能；
第二步：前四次有一件正品有中可能。
第三步：前四次有种可能。
∴ 共有种可能。
4．捆绑与插空
例11. 8人排成一队
(1)甲乙必须相邻 (2)甲乙不相邻
(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻 (4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻
分析：（1）有种方法。
（2）有种方法。
（3）有种方法。
（4）有种方法。
（5）本题不能用插空法，不能连续进行插空。
用间接解法：全排列-甲乙相邻-丙丁相邻+甲乙相邻且丙丁相邻，共--+=23040种方法。
例12. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即。
例13. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?
分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
∴ 共=20种方法。
4．间接计数法.(1)排除法
例14. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，
∴ 共种。
例15．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，
∴ 共-12=70-12=58个。
例16. l，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?
分析：由于底数不能为1。
（1）当1选上时，1必为真数，∴ 有一种情况。
（2）当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共，其中log24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94.
因而一共有53个。
(3)补上一个阶段，转化为熟悉的问题
例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?
分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有=360种。
（二）先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了种， ∴ 共=120种。
例18．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?
分析：首先不考虑男生的站位要求，共种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。因而有=9×8×7×6=3024种。
若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。
例19. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?
分析：先认为三个红球互不相同，共种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，共有变化，因而共=20种。
5．挡板的使用
例20．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。
6．注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。
例21. 从0，l，2，……，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数?
分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0的选取。
（一）两个选出的偶数含0，则有种。
（二）两个选出的偶数字不含0，则有种。
例22. 电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法?
分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四组，有种。
（二）选择10层中的四层下楼有种。
∴ 共有种。
例23. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，
(1)可组成多少个不同的四位数?
(2)可组成多少个不同的四位偶数?
(3)可组成多少个能被3整除的四位数?
(4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么?
分析：（1）有个。
（2）分为两类：0在末位，则有种：0不在末位，则有种。
∴ 共+种。
（3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4×()+=96种。
（4）首位为1的有=60个。
前两位为20的有=12个。
前两位为21的有=12个。
因而第85项是前两位为23的最小数，即为2301。
7．分组问题
例24. 6本不同的书
(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?
(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？
(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?
(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?
分析：（1）有中。
（2）即在（1）的基础上除去顺序，有种。
（3）有种。由于这是不平均分组，因而不包含顺序。
（4）有种。同（3），原因是甲，乙，丙持有量确定。
（5）有种。
例25. 6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方法为_______。
分析：（一）考虑先把6人分成2人和4人，3人和3人各两组。
第一类：平均分成3人一组，有种方法。
第二类：分成2人，4人各一组，有种方法。
（二）再考虑分别上两辆不同的车。
综合（一）（二），有种。
例26. 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有________种.
分析：（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。
其中涉及到平均分成四组，有=种分组方法。
（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有种，
由（一）（二）可知，共=240种。

参考资料：百度百科

Answer 2

排列组合应用问题，题型繁多，解法独特，但经仔细分析研究，还是有一定规律可循。关键是掌握两个计数原理及排列组合的定义，了解一些基本题型及其解法，掌握基本的一些分析问题的方法。

一、基本题型及其解法

（1）纯排列问题

“从几个不同元素中取出m个元素的排列”是最简单的纯排列问题，但是它有三种题型变化，下面分别用例题予以说明。

例1 现有九位同学排成一行，试问：

①如果其中甲、乙两位同学必须排在两端，那么一共有多少种排法？

②如果甲不能排在最左端，乙不能排在最右端，那么一共有多少种排法？

本例是属于“某些元素‘在’或‘不在’某几个位置上”的一种排列题型。“在”，一般用直接法解，即先取出这几个元素并让它们落在指定的位置上，然后再考虑其它元素；“不在”，一般用间接法，转化为“在”来求解。

例2 现有五位男同学，四位女同学排成一行，试问：

① 如果男女同学各自排在一起，那么一共有多少种排法？

② 如果男女同学相间地排，那么一共有多少种排法？

本例是属于“某些元素‘相邻’或‘不相邻’的一种排列题型。“相邻”则将这要求“相邻”的m个元素捆绑起来看成一个整体（一个大元素）与另外（n-m）个元素进行全排列，再乘以这m个元素自身的全排列数即 种排法；“不相邻”，一般用插空法来解，即先将另外p(P≥m-1)个元素排好，留出（p+1）个空挡，再让这不能相邻的m个元素插进去，共有排法 （种）。

例3 现有五位男同学，四位女同学排成一行，试问：

① 如果其中甲、乙、丙三人次序一定，那么一共有多少种排法？

② 如果男同学次序一定，女同学次序也一定，那么一共有多少种排法？

本例是属于“某几个元素“次序一定”的一种排列题型。它的解法是先将n(n>m)个元素全排列有 种，就其中m个元素而言有 种排法，但由于要求这m个元素次序一定，因此只能取 中的某一种排法，故共有排法 / 种，即顺序固定问题用除法。

（2）纯组合问题

“从几个不同元素中取出m个元素的组合”是最简单的纯组合问题，但是它有两种题型变化，下面分别用例题予以说明。

例4 现从五位男同学，四位女同学中选出5名代表，试问其中：

① 男甲、女A都必须当选，有几种选法？

② 男甲必须当选，女A不能当选，有几种选法？

本例是属于“‘含有’或‘不含有’某些元素”的一种组合题型。“含”则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”则先将这些元素剔除，再从留下的元素中去取。

例5 现从五位男同学，四位女同学中选出5名代表，试问其中：

① 至少有一个女同学当选，有几种选法？

② 最多有三个女同学当选，有几种选法？

本例是属于“‘至少’或‘最多’含有几个元素”的一种组合题型。用分类法或排杂法解都可以，但是解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，要保证分类合理，排杂准确，谨防漏解与重复。

（3）排列组合混合题

这类问题有两群之间的排列题和分配（分组）问题两类题型。

例6 ①用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的五位数中，由两个偶数数字和三个奇数数字组成的有多少个？

②从n个不同元素里取出的m个元素的排列中，试问其中含有a1,a2,……，ap(n>m>p)这p个元素且这p个元素排在一起的排列有多少种？

本例是典型的“两群之间的排列问题”，它的解法是根据公式 得来的，即从n个元素中取出m个元素的排列，可以分成两步来完成：取出( )—排好（ ）。

例7 、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？

① 平均分给甲、乙、丙三人。

② 甲得一本，乙得两本，丙得三本。

③ 一人得一本，一人得两本，一人得三本。

④ 平均分成三堆（组）。

⑤ 一堆一本，一堆两本，一堆三本。

本例的①、②、③是属于“分配问题”，它有两种情况：一种是平均分配或者按某一种确定的分配方案分配（如②），那么只要一个一个地按要求去取，然后再将这些组合数乘起来即得；另一种是分配方案不确定的（如③），那么还要乘以分配人数的全排列数。

本例的④、⑤是属于“分堆（组）”问题，它有两种情况：一是平均分组，如有kn不同元素平均分成k组，那么分法有 种。另一种不是平均分组，那么其解法与分配问题的前一种情况相同。

二、解排列组合应用问题的一些分析方法

对于解比较复杂的排列组合应用题，往往比较困难，会有无从下手的感觉。为了提高分析问题和解决问题的能力，这里根据问题的不同特点，介绍五种分析方法。

（一）特征分析法

例8 从1，2，3，……，100这一百个数中，任取两个不同的数相乘，其中积能被5整除的有多少个？能被5整除但不能被5n(n≥2,n∈N)整除的有多少个？

解：两数中只要有一个是5的倍数，那么它们的积就能被5整除，而1到100中共有20个5的倍数的数，故共有取法 种；能被5整除而不能被5n(n≥2,n∈N)整除，那就是说这20个5的倍数的数中，不能取两个相乘；同时还不能取这20个数中本已含有52因数的数25，50，75，100，因此符合题意的积共有 (种）

例9 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的五位数，试问其中能被3整除的有多少？

分析：能被3整除的数的特征是各位数字之和是3的倍数，由1+2+3+4+5+6+7=28，又组成的是五位数，因此应从28中减去两个数字使其差为3的倍数，再由大到小依次考虑，便得到下面四种情况：

解①28-1-2=24，由2，4，5，6，7五个数字，可组成 个五位数。

②28-1-6=21或28-2-5=21或28-3-4=21，一共可组成 个五位数。

③28-3-7=18或28-4-6=18可组成 个五位数。

④28-6-7=15可组成 个五位数。

根据分类计数原理：可得能被3整除的五位数共有 =840（个）。

上面两例是抓住了能被5整除与能被3整除的数的特征，再进行有条理有次序（特别是例2）的分析而得出解答的。因此在解应用题时，必须十分注意题意的内含特征以及解题的条理性。

（二）排阵分析法

例10 从1到9这九个自然数中，每次取出不同的两个分别作为对数的底数与真数，问一共可以得到多少个不同的对数值？

分析：由于底数不能取1，因此底数可以从2到9这八个数字中任取一个；真数可以从留下的八个数字中任取一个，故有 个对数。但本题是问“有几个不同的对数值？”，显然 是相同的，只能算一个。那么另外有没有相同的对数值呢？那就要费一番周折了，而且一个一个地找很容易造成遗漏，再考虑到底数取法只有八种情况，当取某一值为底时，真数依次排上的次序性很强（如 等等），而且在排时若遇相同的值立即舍去，“重复取”的情况也就避免了，因此还是直接排出要方便些，可靠些。分别以2，3，4，……，9为底直接排出，可得共有53个不同的对数值

例11 现在将准备从七个学校选出12人组成区篮球队，要求每校至少有一人参加，向各校分配到的队员人数，可能有几种不同情况？

解：由于每校至少要有一人参加，因此这一个名额不妨先分配下去，还余下五个名额，因为没有其他的分配要求，因此这5个名额分配时，可能有如下六种情况。

（注：记号“11111”表示将5个名额分成5个“1”，分配到七个学校中去，每校1人，其余类推）

①分成“11111”有 种分配法。

②分成“2111”有 种分配法。

③分成“221”有 种分配法。

④分成“311”有 种分配法。

⑤分成“23”有 种分配法。

⑥分成“41”有 种分配法。

⑦分成“5”有 种分配法。

因此共有 种分配法。

通过上述两例的分析，可以看出“排阵分析法”主要有三个优点：①解题方法直观，易被接受；②条理性强，便于思考分析；③取舍明确，可避免漏解或重复。

（三）元素、位置分析法

例12 3封不同的信，投入4个不同的信箱，共有多少种不同的投信方法？

解法一：元素分析法（以信为主）

第一封信有四种不同的投法，不论把它投入哪一个信箱里，第二封信还有四种投法，同理第三封信也有四种投法，根据分步计数原理，故共有投法4x4x4=64（种）

解法二：位置分析法（以信箱为主）

四个信箱中某一个信箱收到3封信的有 ；四个信箱中某一个信箱收到2封信的有 ；四个信箱中某三个信箱各收到1封信的，收信方法有 。因此收信方法 （种）

元素分析法（即以元素为主考虑各种可能性）与位置分析法（即以位置为主考虑多种可能性）是解排列组合应用题的两种常用方法，它的优点是研究对象清楚单一易于分析各种情况。

例13 三位教师分配到六个班里，各人数不同的班级，若每人都教两个班，有几种分配方法？

解法一（以教师为主）

这是一个分配问题，第一位教师可从六个班中选二个有 ，第二位教师可从四个班中选二个有 ，第三位教师教余下的二班有 ，因此共有 种不同的分法。

解法二（以班级为主）

将六个班分成三组，每组两个班，共有 分组法，再将每种方法中的三组分配给三位教师有 种，因此共有 种方法。

（四）图形分析法

例14 用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，试问能组成多少个大于401325的自然数？

解：大于401325的数，必须是六位数；当最高位数字为5时，形如5xxxxx的数一定大于401325有 个；再看最高位是4时，形如下面的数也必须大于401325：

①41xxxx；42xxxx；43xxxx；45xxxx。共有 个。

②402xxx；403xxx;405xxx共有 个。

③4015xx共有 个。

④401352共有1个。

综上得大于401325的自然数共有 个。

例15 一直线和圆相离，这条直线上有六个点，圆上有四个点，通过其中任意两点作直线，试问：

①最多可作几条直线？②最少可作几条直线？

解：①显然除了A1、A2、A3,……A6 这六点共线外，其余无三点共线时，那以任取其中两点作直线必最多，共有 （条）

如图，由于B1,B2,B3,B4 在圆上，故四点

中任意三点均不共线，因此当过B1,B2,B3,B4

中任意两点的直线（共有 条）正好分

别通过A1、A2、A3,……A6 这六个点时，则直线条数最少，共有 （条）。（如图B2 B4 A1 三点，原来过其中任意两点可作三条直线，而现在只能作一条，减少了两条）

从上两例可以看出，有时结合图形来分析比较直观，易于发现规律。

（五）减元分析法

例16 我们把元素和它的排列完全相同的行列式看成是相同的，否则就是不同的，用三个“1”和六个“0”作三阶行列式，试问能作成多少个不同的行列式？

分析：本题情况比较复杂，因此不妨先减元来分析一下，如两个“1”与两个“0”，作成二阶行列式有：

在排的过程中发现，当两个“1”排好位置以后，那两个“0”只能进入留下的空挡，因此实际上只要排好两个“1”的位置即可，而四个空挡中排两个“1”的方法共有 种，这与实际排出也是一致的，由此减元分析可得原题三阶行列式的个数是 个。

例17 ①将四个“十”号，六个“一”号排成“一十一一十十一十一一”时，符号改变了几次？

②将八个“十”号，六个“一”号排成一列时使符号改变5次的排法共有多少种？

解：①从左往右依次点算，可得符号共改变了6次。

②通过对①的仔细观察分析可以发现：

（a）“十”号旁边排上一个或几个“一”号将使符号改变（“一”号旁边排上“十”号也同样）

（b）两个“十”号之间插入一个或几个“一”号，将使符号改变2次。

（c）最左端那一个“十”号的左边加上一个或几个“一”号，使符号改变一次（最右端那个“十”号的右边加上一个或几个“一”号也同样）

由上述三点发现，再考虑到符号改变5次的要求，我们不妨先让八个“十”号排成一列，留出首尾空位和中间七个空挡，只要在中间的七个空挡中取出两个，各插入一个或几个“一”号，使符号改变4次；再在首或尾空位中放上留下的一个或几个“一”号使符号改变1次，那么问题的要求就满足了。

具体计算过程从略，符号改变5次的排法，共有 （种）

减元分析法是用在一时看不出眉目，或无从下手的排列组合应用题。这时不妨先减元排出，然后仔细观察，分析归纳，找出解题规律。

Answer 3

不是吧老兄
你是学生还是老师
要是老师你就辛苦点
不能为了省事而这样做要是让你的学生知道你这么搞
岂不是有损你的声誉
要是你是学生的话就更应该独立完成作业了
而且自己做印象会更深