（2013?南开区二模）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧

Question

（2013?南开区二模）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD．（Ⅰ）设AB的中点为Q，求证：PQ⊥平面ABCD；（Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角M-BD-C的大小为60°，求CMCP的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵侧面PAB是正三角形，AB的中点为Q，∴PQ⊥AB，
∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，PQ?侧面PAB，
∴PQ⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接AC，设AC∩BD=O，建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），B(

3

，0，0)，C（0，1，0），D(?

3

，0，0)，P(

3

2

，?

1

2

，

3

)，

PD

＝(?

3 3

2

，

1

2

，?

3

)，平面ABCD的法向量

m

＝(0，