设a、b、c为正数,且a^2+b^2+c^2=3, 证明:1/(1+2ab)+1/(1+2bc)+1/(1+2ca)>=1.

Question

a、b、c为正数,故
1/(1+2ab)+1/(1+2bc)+1/(1+2ca)

≥1/(1+a^2+b^2)+1/(1+b^2+c^2)+1/(1+c^2+a^2)

≥3*{3/[(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+3]}
=9/[3+2(a^2+b^2+c^2)]
=1

即1/(1+2ab)+1/(1+2bc)+1/(1+2ca)≥1.
这个过程不懂，如果你会，帮我细细讲讲好么，非常感谢！

Answer 1

主要用到两个不等式
a²+b²≥2ab
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真分数相加后结果≥分子分母分别相加后结果*真分数个数
即a/b+m/n≥2(a+m)/(b+n)其中a,b,m,n为正数，≥1， a<b, m<n
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证明
.....

Answer 2

a²+b²≥2ab （a>0，b>0) 分母变大，分式变小 1/(1+2ab)≥1/(1+a²+b²)
a1/a2+b1/b2+a3/b3≥3(a1+b1+c1)/(a2+b2+c2)