把13个相同的小球全部放入三个不同的盒子中,每个盒子至少放两个,则不同的放法有几种？

Question

希望能详细解答 O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

13个取2个放入一个盒子，余下11个取2个放入第2个盒子，
再在余下9个中取2个放入最后一个盒子：小球全部相同，

所以问题变为把剩下7个小球放到这三个盒子中，允许有的盒子一个也不放，有多少种放置方法?

相当于把7分成3个整数相加
7=0+0+7=0+1+6=0+2+5=0+3+4=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3
一共8中分解方法

当3个数各不相同时有3！=6种放法
当有两个数相同时有3！/2！=3种放法
所以一共有4*6+4*3=36种放法

Answer 2

每个盒子里面先放2个
问题转化为将7个相同的小球全部放入三个不同的盒子中
利用插空法
7个小球依次排列，一共有8个空
在8个空中插入2个板，将其隔为3部分，即为所求
不同的放法一共有C(8，2)×P(3，3)＝28×6＝168种
所以，不同的放法有168种

追问

但答案是C92 即9×8除以2=36种……

追答

有点问题，应该是每个盒子里面先放1个
问题转化为将10个相同的小球全部放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放1个
利用插空法
10个小球依次排列，一共有9个空
在9个空中插入2个板，将其隔为3部分，即为所求
不同的放法一共有C(9，2)＝9×8÷2＝36种
所以，不同的放法有36种

刚才考虑的不太周到，因为至少0个的话，就存在一个空插2个板的情况
而至少1个就没有这种情况了。