求数列通向公式的构造法是怎样的（举个例子）

Answer 1

在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。例如： 中，若 求an +4, 即 ＝４，｝是等差数列。可以通过等差数列的通项公式求出 ,然再求后数列{ an }的通项。练习：1)数列{ an }中，an≠0，且满足 求an2)数列{ an }中， 求an通项公式。3)数列{ an }中, 求an.二．构造形如 的数列。例：正数数列{ an }中，若 解：设 练习：已知正数数列{ an }中， ,求数列{ an }的通项公式。三．构造形如 的数列。例：正数数列{ an }中，若a1=10,且 求an.解：由题意得： ，即 .　　即 练习：（选自2002年高考上海卷）数列{ an }中，若a1=3, ,n是正整数，求数列{ an }的通项公式。四．构造形如 的数列。例：数列{ an }中，若a1=6, an+1=2an+1, 求数列{ an }的通项公式。解：an+1+1=2a n+2, 即an+1+1=2（an+1）设 bn= an+1, 则bn = 2 bn-1则数列{ bn }是等比数列，公比是2,首项b１= a１+1＝7,， 构造此种数列，往往它的递推公式形如：。如：an+1＝c an+d,设可化成an+1+x=c(an+x),an+1=c an+(c-1)x用待定系数法得：　　(c-1)x＝d∴　　x= .又如：Ｓn+an=n+2, 则　Ｓn-1+an-1=n+1,二式相减得：Ｓn－Ｓn-1 +a n－a n-1 =１，即a n +a n－a n-1 =１，∴ 2 an－an-1=１，an = an-1+ .如上提到bn = an ＋ d = an –1练习：1.数列{ an }满足an+1=3an+2, 求an2.数列{ an }满足Ｓn+an=2n+1,求an五．构造形如 的数列。例：数列{ an }中，若a1=１，a２=3,an+2 + 4 an+1 - 5an=0 (n N),求an。解： an+2 + 4 an+1 - 5an=0得： an+2 － an+1 = - 5（an＋１ － an ） 设bn = an＋１ －an，则数列{ bn }是等比数列，公比是-5,首项b１= a2- a1＝2,∴an＋１ －an=2�6�1(-5)n-1即a２ －a１=2�6�1(-5)a３ －a２=2�6�1(-5)２a４ －a３=2�6�1(-5)３┄an －an－１=2�6�1(-5)n-2以上各式相加得：an －a１=2�6�1［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］即：an －a１=2�6�1 ，即 ，（n 当递推公式中，an＋１与an的系数相同时，我们可构造bn = an＋１ －an，然后用叠加法得：b1+b2+b3+b4+┄+bn = an-a1通过求出数列｛bn｝前n-1项和的方法，求出数列{ an }的通项公式。1) 当递推公式中形如:an+1=a n+an+b ; an+1=a n+qn(q≠1) ; an+1=a n+qn +an+b 等情形时，可以构造bn = an＋１－an ,得: bn = an+b； bn = qn; bn =qn +an+b。求出数列前n-1项的和Tn-1, Tn-1= ; Tn-1= ；Tn-1= + 即： an －a１= ; an －a１= ; an －a１= + 从而求出 an =a１+ ; an= a１+ ;an =a１+ + 。2）当递推公式中形如: an+1=a n+ ；an+1=a n+ ；an+1=a n+ 等情形可以构造bn = an＋１－an ,得:：bn = ；bn = ；bn = 即bn = ；bn = ；bn = 从而求出求出数列前n-1项的和Tn-1,Tn-1= ；Tn-1= ；Tn-1= 即： an －a１= ; an －a１= ; an －a１= 从而求出 an =a１+ ; an= a１+ ;an =a１+ 练习：1）数列{ an }中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通项an.2）数列{ an }中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通项an.3) 数列{ an }中，若a1=2， ，求通项an.六．构造形如 的形式。例：数列{ an }中，若a1=1， ，求an.解：由 得： ∴ ， ， ，… 用累乘法把以上各式相乘得： ∴ 。当递推公式形如： ； ； 等形式，我们可以构造 。可得: ; ; .然后用叠乘法得： 。 令数列{b_n}的前n-1项的积为An-1,则 ； ; 从而得到： ； ； ； ； 。练习：1）数列{ an }中，若a1=2， ，求an.七．构造形如 的形式。例：数列{ an }中，a1=2，Sn=4an-1+1，求an.解：Sn=4an-1+1，Sn-1=4an-2+1二式相减：Sn-Sn-1=4an-1-4an-2 an =4an-1-4an-2an -2an-1=2（an-1-an-2）设bn=an+1-2an，当递推公式形如 Sn+1=4an+2;an+2=pan+1+qan(p+q=1) 等形式时，因an-2an+1=2(an+1-2an);an+2-an+1=(p-1)(an+1-an),我们构造bn=an+1-2an; bn=an+1-an,由等比数列知识得bn=(a2-a1)·2n-1; bn=(a2-a1)·(p-1)n-1从而得到an+1=2an+(a2-a1)2n-1;an+1=an(a2-a1)(1-q)n-1由类型四求出an。总之 ，对于很多数列，我们都可以由递推公式构造新数列的方法求出他们的通项公式。当然，在教学中我们应当充分调动学生的积极性，努力培养学生的创造能力，让学生自己去构造，自己去探索，使学生亲尝到成功乐趣，激起他们强烈的求知欲和创造欲。

Answer 2

等差数列：An=A1+(n-1)d等比数列：An=A1q(n-1)