数学试题中有12道单项选择题,每题有4个选项.某人对每道题都随机选其中一个答案(每个答案被选出的概率相同

Question

数学试题中有12道单项选择题,每题有4个选项.某人对每道题都随机选其中一个答案(每个答案被选出的概率相同），求答对多少题的概率最大？并求出在此种情况下概率的大小。（可保留运算式子）

Answer 1

每道题答对的概率是1/4，并且每道题答对与否是独立的，设X是答对题数的随即变量，所以答对k题的概率是
P(X=k)=C(12，k)(1/4)^k(3/4)^(12-k)
具体算(结果都是约等于)
P(X=1)=C(12，1)(1/4)(3/4)^11=0.1267
P(X=2)=C(12，2)(1/4)^2(3/4)^10=0.2323
P(X=3)=C(12，2)(1/4)^2(3/4)^10=0.2581
P(X=4)=C(12，2)(1/4)^2(3/4)^10=0.1936
P(X=5)=C(12，2)(1/4)^2(3/4)^10=0.1032
P(X=6)=C(12，2)(1/4)^2(3/4)^10=0.0401
P(X=7)=C(12，2)(1/4)^2(3/4)^10=0.0115
P(X=8)=C(12，2)(1/4)^2(3/4)^10=0.00239
P(X=9)=C(12，2)(1/4)^2(3/4)^10=0.0004
P(X=10)=C(12，2)(1/4)^2(3/4)^10=0.0
P(X=11)=C(12，2)(1/4)^2(3/4)^10=0.0
P(X=12)=C(12，2)(1/4)^2(3/4)^10=0.0
所以答对3题的概率最大，为0.2581
也可以这样做，求数学期望
EX=np=12*(1/4)=3

Answer 2

X:答对的题数
X~B(12,1/4)
[(n+1)p=13*1/4]=3
P(X=3)最大
P(X=3)=C(12,3)(1/4)^3(3/4)^9
一般若X服从二项分布B(n,p)则P(X=[(n+1)p])最大，其中[(n+1)p)]表示(n+1)p的整数部分
如果(n+1)p本身是整数，则P(X=(n+1)p)=P(X=(n+1)p-1)同时最大。（这是二项分布的性质）

Answer 3

一共有12×4=48种选择，其中每道题只有一个答案是对的，共12个正确的答案，所以选出的答案是正确的概率P=12/48×100％=25％。有一点我要向你说清楚，不管有多少题，正确的概率总是25％,概率与总体量无关。不懂可以追问(^_^)

Answer 4

4个选择，每个选择的概率：1/4
设学生答对n道题
答对n道题的概率：C(12,n)*(1/4)^n*(1-1/4)^(12-n)=C(12,n)*(1/4)^n*(3/4)^(12-n)
求出上式的最大值。