5个相同的球任意放入3个不同的箱子,有多少种分法?

Question

答案有21种方法,求解释

Answer 1

可以这么考虑：
　　把5个球放入3个箱子有两种等价的做法：
方法1：先把3个箱子放好，然后对每个箱子，随意取一些球（可以是0个），放入箱子中；只要保证最终所有球都放入箱子即可；
方法2：把5个球放好（比如排成一排），然后用箱子去盖住一些球（同样可以是0个）——这就相当于把这些球放入箱子了；
　　不难发现，只要前2个箱子的球已经选好了，第3个箱子就自然确定了。对于方法2，可进一步简化：
　　把5个球排成一排，然后用2根细棒将其隔为3组（允许某些组中有0个球）；最后，左中右3组球就分别对应于3个箱子。

　　现在问题从“放球”变成了“隔球”；因为球是不动的，我们只需为2个细棒找好位置即可。
　　5个球排成一排，可以放细棒的位置必然有5＋1＝6个；
　　第1根细棒可以随意放置——它表示为第1个箱子选球；
　　第2根细棒就只能放在第1根细棒的右边了——因为第1根细棒左边的球已经属于第1个箱子了，第2个箱子只能从剩下的球里选择；当然，允许2根细棒并排放在一起——这表示第2个箱子里有0个球。
　　所以，根据第1根细棒的位置的不同，第2根细棒的选择会有所不同。具体而言就是，第1根细棒的位置每靠右1格，第2根细棒就会减少1个机会。第1根细棒的6种可能位置，对应的第2根细棒的位置选择数分别为：
　　6，5，4，3，2，1；
合计：21。