如图，椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)焦点为F1.F2，线G:x^2-y^2=m(m＞0)的顶点是椭...

Question

如图，椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)焦点为F1.F2，线G:x^2-y^2=m(m＞0)的顶点是椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一直线PF1、PF2与椭圆交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8√2，椭圆四个顶点组成菱形的面积为8√2 (1)设直线PF1、PF2的斜率为k1、k2，求k1和k2的关系？ (2)是否存在λ，使得|AB|+|CD|=λ·|AB|·|CD|，存在则求出，不存在说明理由。
聊QQ给答案
619015524

Answer 1

1、
x²/a²+y²/b²=1，x²/m-y²/m=1；
由题意得：c²=a²-b²=m；
F1(-c,0)，F2(c,0)
设P(x,y)，则k1=y/(x+c)，k2=y/(x-c)
k1k2=y²/(x²-c²)
因为点P(x,y)在双曲线上，所以x²-y²=m=c²，则：y²=x²-c²；
所以：k1k2=y²/(x²-c²)=1；
2、
椭圆四个顶点组成菱形的面积为8√2 ，即2ab=8√2，得：ab=4√2；
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)；
三角形ABF2的周长=AB+AF2+BF2=8√2，
AB=AF1+BF1
所以AF1+AF2+BF1+BF2=8√2
由椭圆的第一定义，得：4a=8√2，则：a=2√2
因为ab=4√2，所以：b=2，则c=2；
由焦半径公式：AF1=a+ex1，BF1=a+ex2，
所以：AB=2a+e(x1+x2)；
同理：CD=CF2+DF2=2a-e(x3+x4)；
直线PF1：y=k1(x+c)与椭圆：x²/8+y²/4=1联列方程组，消去y，得：
(2k1²+1)x²+4ck1²x+2k1²c²-8=0，
由韦达定理：x1+x2=-4ck1²/(2k1²+1)；
直线PF2：y=k2(x-c)与椭圆：x²/8+y²/4=1联列方程组，消去y，得：
(2k2²+1)x²-4ck2²x+2k2²c²-8=0，
由韦达定理：x3+x4=4ck2²/(2k2²+1)；
所以：AB=2a-4eck1²/(2k1²+1)；CD=2a-4eck2²/(2k2²+1)
把a=2√2，c=2代入，得：
AB=(4√2)(k1²+1)/(2k1²+1)，CD=(4√2)(k2²+1)/(2k2²+1)，
|AB|+|CD|=λ·|AB|·|CD|，
即(4√2)(k1²+1)/(2k1²+1)+(4√2)(k2²+1)/(2k2²+1)=32λ(k1²+1)(k2²+1)/(2k1²+1)(2k2²+1)
(k1²+1)(2k2²+1)+(k2²+1)(2k1²+1)=(4√2)λ(k1²+1)(k2²+1)
4k1²k2²+3(k1²+k2²)+2=(4√2)λ(k1²k2²+k1²+k2²+1)
由（1）k1k2=1，代入上式，得：
3(k1²+k2²)+6=(4√2)λ(k1²+k2²+2)
3(k1²+k2²)+6=(4√2)λ(k1²+k2²)+(8√2)λ
则：3=(4√2)λ，6=(8√2)λ
得：λ=(3√2)/8
所以，存在实数λ=(3√2)/8，使得|AB|+|CD|=λ·|AB|·|CD|成立于P的位置无关；

呼。。。终于搞定了，慢慢看吧。。。来自：求助得到的回答

Answer 2

不知啊