证明：若x,y,z∈R,且x^2+y^2+z^2=2,则x+y+z≤xyz+2

Answer 1

方法一
不妨设x≤y≤z
(1)x≤0
x+y+z-(2+xyz)=x(1-yz)+(y+z-2)≤0
(2)0<x≤y≤z≤1
x+y+z-(2+xyz)=x(1-yz)+(y+z-2)≤(1-yz)+(y+z-2)=(1-y)(z-1)≤0
(3)0<x≤y<1<z
x+y+z≤sqrt(2(x+y)^2+2z^2)=sqrt(4+4xy)<2+xy<2+xyz
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用数学分析,这个题目计算量也是挺大的.
设f(x)=x+y+z-xyz+h(x^2+y^2+z^2)
f'(x)=1-yz+2hx=0
f'(y)=1-xz+2hy=0
f'(z)=1-xy+2hz=0
还有x^2+y^2+z^2=2
对于前3式,直接消去参数h得到
(y-x)[(y+x)z-1]=0
(z-x)[(z+x)y-1]=0
(y-z)[(y+z)x-1]=0
所以极值点必然在:
i)x=y=z=+/-sqrt(2/3),达到7sqrt(6)/9~=1.905
ii)x=y,(z+x)/y-1=0,得:
x=y=-1/sqrt(3),z=-2/sqrt(3)
x=y=1/sqrt(3),z=2/sqrt(3)达到10sqrt(3)/9~=1.925
x=y=-1,z=0
x=y=1,z=0,达到最值2
iii)(y+x)z-1=0,(z+x)y-1=0,(y+z)x-1=0
得yz=xz=zx=1/2=>x=y=z=+/-sqrt(2)/2,不符合,淘汰