1/1^2+1/2^2+1/3^2+…+1/n^2，当n趋于无穷时极限是多少

Question

是1/（n^2），不是（1/n）^2。。。

Answer 1

首先,我们对原式进行放大,操作如下
1/n^2=1/(n*n)＜1/[(n-1)*n]=1/(n-1)-1/n；
我们按照上面的方法,从原式的第二项开始展开
原式=1/1^2+1/2^2+1/3^2+……1/n^2
< 1 + (1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + …… + [1/(n-1)-1/n]
= 1 + 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 …… - 1/(n-1) + 1/(n-1) - 1/n
= 2 - 1/n
< 2
证毕

Answer 2

夹逼定理,把分母分别放大和缩小
令所求式子为an,则有
(1+2+...+n)/(n²+n)≤an≤(1+2+...+n)/(n²+1)
1/2≤an≤(n²+n)/(2n²+2)
从而当n→∞时,不等式右边的极限为1/2,而左边极限显然为1/2.由夹逼定理得,an极限为1/2

追问

可an的第一项就是1呀，比1/2大