高二数学的涂色问题

Question

一个正四棱椎,要用四种不同颜色去涂,相邻的面涂不同的颜色,有几种涂法??
是72,那如何解的,
*2A44???没有看懂解释一下

Answer 1

如果各侧面有顺序，答案是72种。

你把这个立体图从棱锥顶点处拆开，变形后可以“拍扁”成一个平面图形，中间是原来的底面，四边围绕着4个侧面（像一朵四瓣的花）。这个变形不改变面与面的连通性，从而不改变涂色的结果。
这样就成为高中数学中更常见的一个地图着色问题，或许对你直观理解上有帮助。

回到题目。由对称性知，底面和四个侧面关系不同，但四个侧面之间是相互对称的，从而可以看成是等价的。

设底面颜色已经选好，有4种选法。

现在来涂另外的4个侧面。4个侧面只能用剩下的3种颜色来涂。这是一个环形队列的涂色问题。
如果各侧面不同，设为ABCD四个面，A有3种选法，B只有2种，C又有3种，D只有1种（被AC限制，D与B颜色相同），共计3*2*3 = 18种；如果各侧面看成相同的，则先选用了两次的相同的颜色，有3种，剩下的2种有顺时针、逆时针2种排法，共计3*2 = 6种。

综合底面选法和侧面选法：
如果各侧面有顺序，则一共有4*18 = 72种；
如果各侧面没有顺序，即看成相同的，则一共有4*6 = 24种。
（注：我跟兰色热带鱼解法不同，他是先选侧面。不过结果是一样的）

补充：
如果题目不要求一定得把4种颜色用完，则选侧面时分两种情况：
1）用了2种颜色。选颜色有C(3,2) = 3种方法；如果把各侧面看成不同的，涂起来又有2种方法（abab或baba）。
共计：各侧面不同有3*2 = 6种，各侧面看成相同则3种。
2）用了全部3种颜色。同上。
这时最后的答案是：
如果各侧面有顺序，4*(6 + 18) = 96种；
如果各侧面没有顺序，4*(3 + 6) = 36种。

Answer 2

我说说吧...其实先把这个正4棱锥看成中间一个圆圈四边4朵花瓣这样的环形涂色问题,情况就比较明朗了``
首先先涂中间那个圆圈,有4种
接着涂其中一个花瓣有3种(称为1号花瓣)
然后涂与1号相对的花瓣时有两种情况
⑴当花瓣颜色和1号花瓣颜色相同时，则其他2个花瓣都各有2种颜色可以涂
⑵当花瓣颜色和1号花瓣颜色不同时，则可以涂其他2种，那么剩下的就只有一种可以选
综合上述，列式：4*3*（1*2*2+2*1*1）=72

Answer 3

你可以画一个圆，再套一个大圆，再将圆环四等份。
你发现了吧，圆环的每一等份相当于正四棱锥的一个侧面，小圆相当于底面。
好好想一想，你这么聪明，一定明白的。
加油！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 4

楼主啊 我先告诉你吧 我的方法不好理解 但你理解了一定会觉得我的方法还不错 这个方法可以解决一切这种问题利用概率问题 我的方法总是很怪 但我的数学还是不错的 高三了一般考试在140以上 你一定要认真看哟 给你一个简单而且我非常实用的方法吧 先着最底面的色有4种方法 再选任意一面着色 有3种方法 再选它的对面着色 因为他们相对不影响 所以另一面也是3种方法 但是到最后两面就要慎重了 第二次与第三次着色的着色可能相同 我们可以计算出相同的概率的1/3 不相同的概率是2/3 这是先讨论第一种情况 另外两面都有2种方法 可得4*3*3*1/3*2*2=48 现在讨论不相同的时候 这是另外两面只有一种着色方法了 4*3*3*2/3*1*1=24 由48+24=72种了 怎么还行吧

Answer 5

零种，因为正四棱锥有五个面啊。。