把4个球随机投入到4个盒子中去，求取值概率

Question

题目：把4个球随机投入到4个盒子中去，设X表示空盒子的个数，求X的可能取值及相应的概率？
当为一个盒子为空时，为什么我写成这样结果是不对的？
p{x=1} = C(4,1)C(4,2)C(3,1)C(2,1)C(2,1)C(1,1) / 4 ^ 4
我想着先从4个盒子里选出一个，然后4个小球中选出 2个放到这个盒子里，然后再从剩下的3个盒子里取1个，再从剩下的2个球中取一个放到这个盒子中，最后，从剩下的2个盒子里取1个，再把最后的一个球放进去，为什么结果不对呢？

当有两个空盒子时，我的写法是：
P(x=2) = (C(4, 1)C(4, 2)C(3, 1)+ C(4, 1)C(4, 3)C(3, 1))/ 4 ^4
即对于有两个空格子共有两种情况：一个是3,1型，一个是2,2型，对于3，1型我是先从4个空格子中取出1个，然后从4个球中取出3个放进这个空盒子，然后剩下的1个球共有3个盒子可以选择。
对于2，2型，我先从4个盒子中选1个空盒子出来，然后从4个球中选2个球放进去，剩下的2个球选盒子总共有3种选择，所以就是C(4 ,1)C(4, 2)C(3,1)。但结果不对，多了2倍，我想请问一下为什么呢？包括上面的问题能否给出详细点的解释
谢谢~~

Answer 1

以下为解析过程，具体求解过程你自行整理即可，组合数表达方式按照你的来。
X可能的取值为0,1,2,3
当X=0时，四个球放入四个盒子中，全排列即可为A(4,4)，所以
P(X=0)=A(4,4)/(4^4)=(4×3×2×1)/(4^4)=3/32
当X=1时，四个球放入三个盒子中，首先选出空盒为C(4,1)，然后选出放入两个球的盒为C(3,2)，然后四个球选出两个球放入选出的盒中为C(4,2)，下面的问题是剩下的两个球放入剩下的两个盒子中，全排列即可A(2,2)，所以
P(X=1)=C(4,1)×C(3,2)×C(4,2)×A(2,2)/(4^4)=[4×3×(4×3/2)×2]/(4^4)=9/16
当X=2时，四个球放入两个盒子中，首先选出空盒为C(4,2)，然后剩下两盒中可能是一三和二二两种方式，按顺序考虑，如果是一三，那么四个球中选出1个放入第一个盒子里为C(4,1)，那么剩下三个自然放入第二个盒子里，如果是二二，那么四个球中选出2个放入第一个盒子里为C(4,2)，那么剩下两个自然放入第二个盒子里，如果是三一，那么四个球中选出3个放入第一个盒子里为C(4,3)，那么剩下一个自然放入第二个盒子里，所以
P(X=2)=C(4,2)×[C(4,1)+C(4,2)+C(4,3)]/(4^4)=6×[4+6+4]/(4^4)=21/64
当X=3时，四个球放入一个盒子中，只要选出一个盒子全放进去即可为C(4,1)，所以
P(X=3)=C(4,1)/(4^4)=4/(4^4)=1/64
下面验算一下：
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=3/32+9/16+21/64+1/64=(6+36+21+1)/64=1
可以说是没有什么问题了 下面可以求期望方差什么的了 我就不继续写了

追问

首先谢谢你的回答，我只想问我错在哪里，而不是怎么做，能麻烦再帮我解释一下，我上面做的哪做的不对吗？谢谢

追答

X=1时多个二倍 产生原因是发生了重复取 举个简单的例子 剩下三个盒为1 2 3 剩下两个球为a b 你的方法是三取一放一再二取一放一 如果三取一取1放a 然后二取一取2放b 和三取一取2放b 然后二取一取1放a 看上去是不同的你都计算进去 但你仔细想想就会发现 这二者本质上一样 这就是你多算的原因 计算中任何取数相同时都有可能造成这种重复 下面的我没细看 但想必你沿用这种方法计算一定是算多了吧

计算总数要充分考虑不重不漏 很多你认为正确的想法和分类可能是有漏洞的 这时简单的你可能会看出来 复杂的你跟本没法看差了几倍 说明你思路不对 换一种分类方法可能更有效

这类问题通常是放一样多的球的盒一起取 然后取球全排列 这种分类方法是最有效的 不容易算多 一个盒子一个盒子放 就必须按顺序 如我这里x=2时那样计算 否则就可能算多

追问

谢谢你的解答，上面的解答更明了些，但你解答的也很不错，希望管理员能 网友采纳。

Answer 2

原题是:把4个不同的球随机投入到4个不同盒子中去，设X表示空盒子的个数，求X的可能取值及相应的概率？

约定:C[n,m]表示从n个不同元素中任取m个元素的组合数，A[n,m]表示从n个不同元素中任取m个元素排成一列的排列数。

解:X=0,1,2,3. 总投法有4^4=256

1)X=0: P(X=0)=A[4,4]/4^4=3/32
2)X=1:
先将4个不同的球分成3堆有(C[4,2]*C[2,1]*C[1,1])/A[2,2]=6种分法
再把3堆投入4个不同盒子中去有A[4,3]=24种投法
得 P(X=1)=6*24/256=9/16
3)X=2:
先将4个不同的球分成2堆有C[4,1]*C[3,3]+C[4,2]*C[2,2]/A[2,2]=7种分法
再把2堆投入4个不同盒子中去有A[4，2]=12种投法
得 P(X=2)=7*12/256=21/64
4) X=3:
P(X=3)=A[4,1]/4^4=1/64

以上解法是解决这类问题的较基本的方法,你的解法的问题在于思路不清晰,出现重复计数。
希望能帮到你！

追问

首先谢谢你的回答，我只想问我错在哪里，而不是怎么做，能麻烦再帮我解释一下，我上面做的哪做的不对吗？

追答

好的,我详细看一下。

X=1时你的思路：我想着先从4个盒子里选出一个，然后4个小球中选出 2个放到这个盒子里，然后再从剩下的3个盒子里取1个，再从剩下的2个球中取一个放到这个盒子中，最后，从剩下的2个盒子里取1个，再把最后的一个球放进去。

从4个盒子里选出一个，然后4个小球中选出 2个放到这个盒子里：有C(4, 1)C(4, 2)种，正确；

后一步实质是将2个不同的球投入3个盒中，正确的是盒不动，先投第一球3种，再投第2球2种，共6种。你的思路(假如1号盒内最后放入的是1号球): 将第1次选中1号盒放入1号球与第2次选中1号盒放入1号球算了2次,产生了重复计数.

希望能帮到你！

追问

谢谢~~

追答

祝你进步！

Answer 3

3+8XP=（C(4,1)C