七个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有几种？

Answer 1

4+4+12=20（种） 答：共有20种不同的放法. 方法： 1,1,1,4 1,1,4,1 1,4,1,1 4,1,1,1 1,1,2,3 1,1,3,2 1,2,3,1 1,3,2,1 1,2,1,3 1,3,1,2 2,1,1,3 2,1,3,1 2,3,1,1 3,1,1,2 3,1,2,1 3,2,1,1 1,2,2,2 2,1,2,2 2,2,1,2 2,2,2,1 原因： 首先研究把7分成4个自然数之和的形式，容易得到以下三种情况： ①7=1+1+1+4 ②7=1+2+2+2 ③7=1+1+2+3 其次，将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类：有一个盒子里放了4个球，而其余盒子里各放1个球，由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一，有4种放法，而其他盒子只放一个球，而球是相同的，任意调换都是相同的放法，所以第一类只有4种放法. 第二类：有一个盒子里放1个球，有4种放法，其余盒子里都放2个球，与第一类相同，任意调换都是相同的放法，所以第二类也只有4种放法. 第三类：有两个盒子里各放一个球，另外两个盒子里分别放2个及3个球，这时分两步来考虑：第一步，从4个盒子中任取两个各放一个球，这种取法有C24种. 第二步，把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球，这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法. ∴由加法原理，可得符合题目要求的不同放法有 4+4+12=20（种） 答：共有20种不同的放法. 本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底，使盒不空，剩下3个球，放入4个有区别盒的放置方式数.

Answer 2

放第一个球，有4种方法。放第二个球，也有4种方法，……，放第七个球，还有4种方法。由乘法原理知，一共有4×4×4×4×4×4×4 = 16384（种）方法。