7个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的方法有多少种？（奥数）

Question

要简便做
要非常简便

Answer 1

4+4+12=20（种）
答：共有20种不同的放法.
方法：
1,1,1,4
1,1,4,1
1,4,1,1
4,1,1,1
1,1,2,3
1,1,3,2
1,2,3,1
1,3,2,1
1,2,1,3
1,3,1,2
2,1,1,3
2,1,3,1
2,3,1,1
3,1,1,2
3,1,2,1
3,2,1,1
1,2,2,2
2,1,2,2
2,2,1,2
2,2,2,1

原因：
首先研究把7分成4个自然数之和的形式，容易得到以下三种情况：
①7=1+1+1+4
②7=1+2+2+2
③7=1+1+2+3
其次，将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类：有一个盒子里放了4个球，而其余盒子里各放1个球，由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一，有4种放法，而其他盒子只放一个球，而球是相同的，任意调换都是相同的放法，所以第一类只有4种放法.
第二类：有一个盒子里放1个球，有4种放法，其余盒子里都放2个球，与第一类相同，任意调换都是相同的放法，所以第二类也只有4种放法.
第三类：有两个盒子里各放一个球，另外两个盒子里分别放2个及3个球，这时分两步来考虑：第一步，从4个盒子中任取两个各放一个球，这种取法有C24种.
第二步，把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球，这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法.
∴由加法原理，可得符合题目要求的不同放法有
4+4+12=20（种）
答：共有20种不同的放法.
本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底，使盒不空，剩下3个球，放入4个有区别盒的放置方式数.

参考资料：o(∩_∩)o...

Answer 2

20种
1,1,1,4
1,1,4,1
1,4,1,1
4,1,1,1
1,1,2,3
1,1,3,2
1,2,3,1
1,3,2,1
1,2,1,3
1,3,1,2
2,1,1,3
2,1,3,1
2,3,1,1
3,1,1,2
3,1,2,1
3,2,1,1
1,2,2,2
2,1,2,2
2,2,1,2
2,2,2,1

参考资料：祝您学习进步

Answer 3

14 一个盒子先放一个，就转化成3个球放到4个不同的盒子里，这3个球分放到3个里，放到2个里，放到1个里，所以就是 4+6+4=14

Answer 4

16