已知三个不等式:①|2x-4|<5-x②(x+2)/(x^2-3x+2)>=1③2x^2+mx-1<0

Question

已知三个不等式:①|2x-4|<5-x②(x+2)/(x^2-3x+2)>=1③2x^2+mx-1<0
(1)若同时满足①②的x值也满足③，求实数m的取值范围
(2)若满足③的x至少满足①和②中的一个,求实数m的取值范围

过程。谢谢！！！

Answer 1

解：①的解集为A={x|-1＜x＜3}，
②的解集为B={x|0≤x＜1或2＜x≤4}
A∩B={x|0≤x＜1或2＜x＜3}，A∪B={x|-1＜x≤4}
(1)根据题意，则方程2x^2+mx-1=0的一根小于0，一根大于等于3
设f（x）=2x^2+mx-1则：f(0)＜0 ;f(3)≤0 解得：m≤-17/3
（2）根据题意，则方程2x^2+mx-1=0的两根应在区间[-1，4]上
设f（x）=2x^2+mx-1 则：f(-1)≥0；f(4)≥0；△＞0；-1＜-m/4＜4
解得：-31/4≤m≤1

追问

为什么 方程2x^2+mx-1=0的一根小于0，一根大于等于3。。？

Answer 2

（1）由① |2x-4|<5-x 得：-1<x<3；
由② (x+2)/(x²-3x+2)≥1 得：0≤x<1或2<x≤4；
要同时满足①、②两条件，则0≤x<1 或 2<x<3；

由 0≤x<1和③2x²+mx-1<0，不等式③的两个零值点应在[0,1)上，即：
[-m-√(m²+8)]/4≥0且[-m+√(m²+8)]/4<1 →→ 前一条件无法成立，故此情形下无解；

由 2<x<3和③2x²+mx-1<0，不等式③的最小零值点不大于0，所以无解；

综合知，此问无解；

（2）由①、②：-1<x≤4 和 ③ 2x²+mx-1<0，不等式③的两个零值点应在(-1,4]上，即：
[-m-√(m²+8)]/4>-1且[-m+√(m²+8)]/4≤4，由前一条件：m<1，后一条件：m≥-1/4；因此m∈[31/4,1)；