∫∫√(y/根号x^2+y^2 dσ, 其中d为闭区域:x^2+y^2<=y, 求二重积分的值?

Question

计算二重积分。 ∫∫根下（R^2-x^2-y^2）dσ，D是由圆周x＾2+y＾2<=Rx所围成的区域,求解答

Answer 1

利用极坐标二重积分，该圆的极坐标方程为r=2acosθ，其中a为半径R/2，倒数第二个等号后一项利用奇对称性质直接得0，不用再计算. 

 

请采纳，谢谢！

Answer 2

x=rcos(a), y=rsin(a), r=(x*2+y^2)^(1/2), dσ=rda dr

∫∫根下（R^2-x^2-y^2）dσ
=∫(0,R) [R^2-r^2]rdr∫(0,2π) da; y=(R^2-r^2);dy= - 2rdr

=2π*(-1/2)∫(R^2,0) y^(1/2) dy
=(2π/3)R^3

追问

∫∫√(y/根号x^2+y^2 dσ, 其中d为闭区域:x^2+y^2<=y, 求二重积分的值?

追答

如删去原题”D是由圆周”,则
x=rcos(a), y=rsin(a), r=(x*2+y^2)^(1/2), dσ=rda dr
∫∫根下（R^2-x^2-y^2）dσ
=∫( -π,π) da ∫(0,Rsin(a)) [R^2-r^2]rdr; z=(R^2-r^2);dz= -2rdr
=(-1/2) ∫( -π,π) da∫(R^2,R^2-(Rsin(a))^2) z^(1/2) dz
=(-1/3) ∫( -π,π) da {[R^2-(Rsin(a))^2]^(3/2) – R^3}
=(-1/3) ∫( -π,π) da {[R^2[cos(a)]^2]^(3/2) – R^3}
=(1/3) ∫( -π,π) da (R^3- [R cos(a)]^3)
= (2π/3)R^3-(1/3)R^3 ∫( -π,π)[(cos(a)]^3da (奇对称性质直接得0)
=(2π/3)R^3