已知函数f(x)=x 2 +2x，g(x)=-x 2 +2x。（1）解不等式：g(x)≥f(x)-|x-1|；（2）若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[

Question

已知函数f(x)=x 2 +2x，g(x)=-x 2 +2x。（1）解不等式：g(x)≥f(x)-|x-1|；（2）若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围；（3）若g(x)≤m 2 -2mp+1对所有x∈R，p∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（1）g(x)≥f(x)-|x-1| -x 2 +2x≥x 2 +2x-|x-1| -2x 2 +|x-1|≥0， 或 ， 解得：x∈[-1， ]。 （2）h(x)=g(x)-λf(x)+1=-x 2 +2x-λ(x 2 +2x)+1=-(λ+1)x 2 +2(1-λ)x+1，在[-1，1]单调递增， ①λ+1=0，∴λ=-1时，h(x)=4x+1单调递增； ②λ+1≠0时，对轴称 ，   ，解得：λ＜-1 或 ，解得：-1＜λ≤0， ∴λ≤0。 （3）g(x)=-x 2 +2x≤m 2 -2mp+1，对 x∈R，p∈[-1，1]恒成立 m 2 -2mp+1≥(-x 2 +2x) max =-((x-1) 2 +1) max =1 m 2 -2mp≥0， 令f(p)=-2mp+m 2 ， 则 或 ， ∴ 。