把20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于它的编号数，则不同的方法

Question

把20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于它的编号数，则不同的方法共有多少种？
我知道有答案是120种。可是我自己的理解是先在20个球中选一个放1号，选两个放2号，选三个放3号，这样就还剩下14个球，每个球都有三种机会，这样就有14^3种……这样的话就有N种可能性了……这种想法哪里有问题……

Answer 1

你这么想是对的，
但是14^3你这么算是和对沾不上边的。3^14次方我还可以理解，14^3是怎么回事？
即使是3^14次方，还是有问题，因为有重复的，而且重复的很多，非常多……
正确的解法是插空法
假设把14个球排一排，14个球共有13个空隙，加上两头的，有15个空，
现在可转化为将三个小盒插入15 个空档的排列数。对应关系是:以插入
两个空档的小盒之间的小球个数, 表示右侧空档上的小盒所装有小球数,
最左侧的空档可以同时插入两个小盒. 而其余空档只可插入一个小盒,
最右侧空档必插入小盒于是, 若有两个小盒插入最左侧空档, 有
C（2，3） 种; 若恰有一个小盒插入最左侧空档, 有C（1，3）C（1，3）种;
若没有小盒插入最左侧空档, 有C（2，13） 种, 由加法原理, 有
N=C（2，3）+C（1，3）C（1，3）+C（2，13）=120 种排列方案, 即有120 种放法

Answer 2

这样想是不对的
如果全部分到第一个盒子，或全部分到第二或第三个盒子那？

追问

那不是也没有关系吗？只要保证1、2、3号盒子已经各有1,2,3个球不就可以了吗？

追答

我想错了，
例如第一次你放在了一号第二次你放在了二号，这和第一次你放在了二号，底儿次你放在了一号没有区别，，但是你却分了两种。应该是这样想的。