把20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于它的编号数，则不同的...

Question

把20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于它的编号数，则不同的方法共有多少种？答案是120种！跪求详解！

Answer 1

先在2，3号球分别放入1，2个球，那么还剩17个球，问题转化为：
把17个小球三个盒子中，每个盒子至少1球，共有多少种？
典型 “挡板法”问题！
17个球排成一列，有16个空隙，插入2块挡板。
C(16,2)=120

Answer 2

先在2，3号球分别放入1，2个球，那么还剩17个球，问题转化为：
把17个小球三个盒子中，每个盒子至少1球，共有多少种？
典型 “挡板法”问题！
17个球排成一列，有16个空隙，插入2块挡板。
C(16,2)=120

Answer 3

当1号盒放一个球，则2号盒最少放两个 最多16个，有15种放法
当1号盒放二个球，则2号盒最少放两个 最多15个，有14种放法
依次类推 1号盒放15个球只有1种放法
总共1+2+3+...+14+15=120种放法。

Answer 4

你这么想是对的，
但是14^3你这么算是和对沾不上边的。3^14次方我还可以理解，14^3是怎么回事？
即使是3^14次方，还是有问题，因为有重复的，而且重复的很多，非常多……
正确的解法是插空法
假设把14个球排一排，14个球共有13个空隙，加上两头的，有15个空，
现在可转化为将三个小盒插入15 个空档的排列数。对应关系是:以插入
两个空档的小盒之间的小球个数, 表示右侧空档上的小盒所装有小球数,
最左侧的空档可以同时插入两个小盒. 而其余空档只可插入一个小盒,
最右侧空档必插入小盒于是, 若有两个小盒插入最左侧空档, 有
C（2，3） 种; 若恰有一个小盒插入最左侧空档, 有C（1，3）C（1，3）种;
若没有小盒插入最左侧空档, 有C（2，13） 种, 由加法原理, 有
N=C（2，3）+C（1，3）C（1，3）+C（2，13）=120 种排列方案, 即有120 种放法