高中排列组合。将三个相同小球放到四个盒子中，求三个小球放在不同盒子中的概率。

Question

这里出现了两种解法：
解法一，第一个小球任意放入一个盒子里面。概率为1
第二个小球本可以任意放入一个盒子里面，但是由于不能和第一个小球重复，因此只能选择剩下的3个。概率为3/4。
第三个小球，和第二个小球的道理一样，这时只能在4个里面放入剩下的两个空盒才行。概率为2/4=1/2
由于为分步处理，用乘法原理得：P=1×3/4×1/2=3/8

解法二，三个小球放入4个盒子中的情况可分为三种：
1，三个小球放在一起。这样的话就只有一组，有四个可选的盒子，因此有四种选法。
2，三个小球中有两个在一起，一个独立。这样小球就分为两个不同组。放到4个盒子中的两个。有A²₄=12种放法。
3，三个小球分开放，放到四个盒子中。有C³₄=4种放法。
因此共有20种放法，其中满足条件的3共有4种。概率为4/20=1/5

看似两种方法都有道理，不过答案相差太大了。第一种方法是我的算法。第二种是所谓的“标准答案”，我一直抱以怀疑。但是到目前为止我还没有明确地指出其中一种方法的错误。不过我的突破口是第二种方法的每一个基本事件的概率可能不同，如果是这样的话就不能用目标事件数÷总事件数来求解，但是我没证出来。纠结！求大神解答，能详细正确地解答的必有重赏。

Answer 1

首先肯定楼主的答案，第一种解法是完全正确的，就是3/8

 

第二种的问题在于每种的选法包含的等概率小情况不一样 也就是放法的可能性不一 需要详细的计算出来

设盒子分别为ABCD，每次放一小球都有4种可能，放3个就是4*4*4种

三小球一起 一共有AAA BBB CCC DDD4种

两个在一起 另一个单独放 这里先挑放进的盒子是哪2个 共c2 4=6种

然后以其中一种为例，放进的是AB2盒子 一个个小球放进去 罗列出

ABB AAB ABA BAB BBA BAA一共6种

因此有6*6=36种等可能情况

一次次的放 可能的放法就是A3 4=24

所有可能情况就是4+36+24=64=4^3证明这样计算放法是可行的

24/36=3/8跟楼主的答案一样

Answer 2

先肯定你的算法的答案是正确的。
而解法二的问题在于——被“相同”小球所误导
我先举个荒谬点的例子：抛两个“相同”的硬币，一正一反的概率是多少？
懂点概率的人就知道，是50%
但我也象解法二一样来分情况讨论：
1，两个硬币都正面朝上，一种扔法
2，两个硬币都正面朝下，一种扔法
3，两个硬币一正一反，一种扔法
所以概率是1/3
问题在哪儿呢？在计算概率时，A正B反和A反B正是两种可能，必须将AB视为“不同”的个体分开计算。
这样，我们将三个小球视作不同小球的话，将解法二重新整理下：
1，三个小球放在一起。这样的话就只有一组，有四个可选的盒子，因此有四种选法。（无争议）

2，三个小球中有两个在一起，一个独立。这样小球就分为两个不同组。放到4个盒子中的两个。有A²₄=12种放法。（分组有3种分法，所以这里应该是12*3=36种放法）

3，3，三个小球分开放，放到四个盒子中。有C³₄=4种放法。（3个小球再全排列，这里应该是6*4=24种放法）

因此共有64种放法，其中满足条件的3共有24种放法，概率为24/64=3/8
只有将小球进行编号视作不同，才能保证每一种放法出现的概率相同，从而最后可以用24/64来得出答案。如仍有疑惑，欢迎继续追问。

Answer 3

第二个小球本可以任意放入一个盒子里面，但是由于不能和第一个小球重复，因此只能选择剩下的3个。概率为3/4

这种思路错了，第一个球放下去的时候，位置已经定了，而你第二次考虑所谓的“3/4”，还是按第一次什么都没定的时候的概率考虑。

追问

但是不论第一个球放在哪儿第二个球不能和第一个球放在一起的概率都为3/4啊。就相当于不考虑第三个球，把这道题当作只有两个球的时候，这两个球不在一起的概率的确应该是3/4啊。没有错吧