7个相同的球放入4个不同的盒子里

Question

每个盒子至少放一个，有多少种不同的放法？
给小学四年级讲，怎么讲能让他懂？

Answer 1

首先研究把7分成4个自然数之和的形式，容易得到以下三种情况：
①7=1+1+1+4
②7=1+2+2+2
③7=1+1+2+3
其次，将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类：有一个盒子里放了4个球，而其余盒子里各放1个球，由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一，有4种放法，而其他盒子只放一个球，而球是相同的，任意调换都是相同的放法，所以第一类只有4种放法.
第二类：有一个盒子里放1个球，有4种放法，其余盒子里都放2个球，与第一类相同，任意调换都是相同的放法，所以第二类也只有4种放法.
第三类：有两个盒子里各放一个球，另外两个盒子里分别放2个及3个球，这时分两步来考虑：第一步，从4个盒子中任取两个各放一个球，这种取法有C24种.
第二步，把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球，这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法.
∴由加法原理，可得符合题目要求的不同放法有
4+4+12=20（种）
答：共有20种不同的放法.
本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底，使盒不空，剩下3个球，放入4个有区别盒的放置方式数.

Answer 2

分步讲：给盒子编号号：1号2号3号4号第一步，每个盒子至少放一个，那就取4个球放入盒子，还剩3个球，这一步就一种可能性第二步，还剩三个球有三种放法，第一种将三个球都放入一个盒子，有4种放法第二种将其中两个球放入一个盒子，另一个放入另一个盒子，4*3=12种放法第三种将三个球分别放入三个盒子，四个盒子里选三个盒子放，有4种放法（编号123，234，124，134）将这三种可能性相加就是总共的可能性：4+12+4=20种放法。最好有道具边讲边演示，效果更好。================================
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Answer 3

4*4*4*4*4*4*4=16384
第一个球可以放到4个盒子中的任一个，第二个也是，依次…所以4^7=16384

Answer 4

插板法，6个位置插3块板，C63等于 20

Answer 5

组合数C8（3）用隔板法