将n个球随意放入N个箱子,为什么说共有N^n种放法？

Question

求具体的推导过程。本人没系统学过排列组合的知识，所以请尽量详细，谢谢！

Answer 1

对于第一个球可以选择放到N个箱子中的任意一个，也就是有N种放法，对于第二个球以及之后的每一个球同样都是有N种，因此根据乘法法则一共有N*N*…*N (n个N相乘）＝N^n 种。

具体点的解释：
1. 乘法法则：简单的说就是做一件事有若干个步骤(假设n步），第一步有A1种做法，第二步有A2种，…，第n步有An种，那么整个这件事就有 A1*A2*…*An种做法。（例如你上衣有两件，裤子有三条，那么一共有2×3＝6种穿法）
2. 乘法法则使用有一个前提条件，将一件事分成若干步后，要求所有步骤之间是独立的才能使用乘法法则。对于楼主的原题而言，则是要求这n个球是不同的，N个箱子也是不同的，这样的话我最初的解释中的乘法法则才能适用，答案才是N^n.
3. 若n个球是完全相同的话（N个箱子仍然是互不相同的），那么若是你将n个球标成1～n号，第一步放1号球，第二步放2号球…… 这样的话这些步骤之间不是相互独立的，不能使用乘法法则。
可以举个简单例子来说明，假设有两种方法：
a. 第一步将1号球放入1号箱，第二步将2号球放入二号箱
b. 第一步将1号球放入2号箱，第二步将2号球放入1号箱。
这两种方法只有第一步和第二步不同，后面的（N-2）步完全相同。那么你会发现，在n个球不同的时候这两种做法导致的结果是不同的; 而在n个球是相同的时候这两种做法导致的结果是完全相同的，此时这两种做法只能看作是一种。
4. 对于n个球相同（或是N个箱子相同，或者都相同）的情况，不能使用简单的乘法法则，否则的话会对相同的做法做重复计数，导致最后的结果大于真实值。具体解法可以去参照下排列组合的知识，高中数学的参考书里有详细的教程。

总结一下：对于做排列组合的问题，要考虑一个 “一一对应的问题”，也就是你解题时的每一种放法要刚好对应题目的一种结果。这句话很不清楚，拿上面的例子来看：
对于不同的球不同的箱子（楼子的原题），那么我的思路是：第一步有N种，第二步有N种，…，第n步有N种。这时我会在脑袋里思考两个问题：
1. 第一步中随便挑出一种，第二步中随意挑出一种，…，第N步中随意挑出一种，这样得到的结果是不是题目所要求的结果，很显然这里确实把n个球放入N个箱子了，满足题目的要求，因此这确实是一种放法。
2. 假设你n步里边随意变动一下，这是另外一种放法，但是此时就要小心了，这种放法导致的结果是不是跟之前考虑过的放法导致的结果相同呢，如果相同的话那么就重复了，这种放法就不能算了。就像上面举的“n个相同的球放到N个不同的箱子”里一样，你所考虑的所有放法中有两种放法导致的结果是一样的，这个时候就说明你重复计数了。也就是说你的放法与题目结果不是一一对应的（你这里两种放法对应一种结果）

说的有点啰嗦，个人表达能力有限，望楼主能明白。