把n+1个不同的小球，全部放到n个有编号的小盒中去，每小盒至少有1个球，共有多少种放法

Question

要过程 对的追加分数

Answer 1

解法一:由于不能出现空盒,所以应当有一个盒子放两个球,从这n个盒子中选出一个放两个球,其余各盒都应放入一个球.从这n个盒子中选出一个放两个球,有C种不同的选法;从这n+1个球中选出两个球放入此盒,有C种选法;其余n-l个球分别放入其余n-1个盒子,有(n-1)!种不同放法,由分步计数原理共有:
C·C·(n-1)!=·(n+1)!种不同放法.
解法二:有两个球应放入同一个盒子中,从这n+1个球中选出两个球,有C种不同选法,将这两球视为一个球,再与其余n-1个球一道分别放入这n个盒子,共有n!种不同放法.所以一共有;
C+1·n!=·(n+1)!种不同放法.
解法三:先将n+1个球排成一排,共有(n+1)!种排法,再在它们之间插入隔板,以表示将它们放入不同的盒子中,由于不能出现空盒,因此,必须用n-1块隔板分别插在它们两两之间的n个间隔中的n-1个之上,故有C=n种不同的插法,又因放入同一个盒子的两个球无顺序之分,所以一共有(n+1)!·n·=·(n+1)!种不同的放法.
点拨:以上三种解法从不同的角度考虑问题,收到了殊途同归之效.
解法二可视为是先分堆,再装盒.
解法三采用了"隔板模型"将不可辨的球装入到可辨的盒子中,求装的方法数,常用此模型.如将12个完全相同的球排成一排,在它们之间11个缝隙中任意插入3块隔板,把球分成4堆,分别装入4个不同的盒子中的方法数应为C种.这也是方程a+b+c+d=12的正整数解的个数.由此n元方程x1+x2+…+xn=m(m∈Z,m≥n)的正整数解的个数为C.
此题常见的错解为:先将从n+1个球中选出的n个小球放入n个盒子中,每个小盒放入1个小球,有放法A种,再把余下的一个球放到n个盒子的某一个盒子中去,有C种放法,共有C·A=n·(n+1)!种.错因在于这里出现了大量的重复情形.

Answer 2

不能出现空盒,所以依次放上一个之后剩下一个,就可以放在任意一个盒子内.有n个盒子就有n种方法咯.

Answer 3

Ann*C(n+1)n+c(n+1)2*Cn1*A(n-1)(n-1)