排列组合问题，有7个小球4个盒子

Question

将7个小球放入4个盒子中，问在下列4种情况中共有多少种放法？
①小球相同，盒子相同
②小球不同，例子相同
③小球相同，盒子不同
④小球不同，盒子不同
四个小题，请帮忙分别作答！万分感谢！~~

Answer 1

①
全放一个盒子：1种 7
放两个盒子中：3种 1，6 2，5 3，4
放三个盒子中：4种 1，1，5 1，2，4 1，3，3 2，2，3
放四个盒子中：3种 1，1，1，4 1，1，2，3 1，2，2，2
一共11种
②
以第一题为基础，此时小球有了区别，那么每一种都要考虑到小球的不同种类
全放一个盒子：1*1=1种
放两个盒子中：7+7*6/2+7*6*5/（3*2）=63
放三个盒子中：7*6/2+7*6*5/2+7*6*5*4/（3*2）=266
放四个盒子中：7*6*5/（3*2）+7*6/2*5*4/2+7*6*5/2*4*3/2=875
一共1205种
③
相当于用盒子把小球分成不同的份，用第一题的答案乘以盒子可能分到的种类
如果只分一份：1*（4）=4
分两份：3*（4*3）=36
分三份：4*（4*3*2）=96
分四份：3*（4*3*2*1）=72
一共有208种
④
第一个小球有四种方法，第二个有四种，第三个有四种....
所以一共是有4*4*4*4*4*4*4=4^7=16384种

Answer 2

我只看了一下①③两题。①是正确的，但③的考虑不够全面。类似的，以①为基础求③：
分一份：
P(4,1)
分两份：
P(4, 2) + P(4, 2) +P(4, 2)
分三份：
P(4, 3) / P(2, 2) + P(4, 3) + P(4, 3) / P(2, 2) + P(4, 3) / P(2, 2)
分四份：
P(4,4) / P(3, 3) + P(4, 4) / P(2, 2) + P(4, 4) / P(3, 3)
比如说对于1,1,5这种分法，因为小球相同盒子不同(代号A/B/C/D)，实际的种类应该考虑到1A1B5C和1B1A5C是重合的这种情况。 也就是说，1,1,5三个数字可以先做排列，然后两个相同的数之间要做组合，最后前后数相除。