高二数学，排列组合，4个球4个盒，将4个球放入3个盒子中有几种放法？

Question

高二数学，排列组合，4个球4个盒，将4个球放入3个盒子中有几种放法？由题义得，必有一盒中有2个球，
①第一个盒子放2个球，
先选2个球，有A²4种选法，盒子有A¹4种选法；
②对第2个盒子而言，
第一个盒子已经选走2个球了，所以只剩下A²2种选法，盒子剩下3个，所以有A¹3种选法；
③对第三个盒子而言，
只剩下一个球了，所以有A¹1种选法，盒子剩下2个，所以有A¹2种选法
根据乘法原理共有A²4·A¹4·A²2·A¹3·A¹1·A¹2=576种，可答案为什么是288种？谁错了？

Answer 1

144种
首先算一盒两球的选法：球4选2的选法有6种，盒子4选一的选法有4种，因此为24种。
再算一盒一球的选法：球2选1的选法有2种，盒子3选2的选法有3种，因此为6种
综合而算，共6×24=144种选法

追问

不同的小球。

所以4选二是4x3=12种？

Answer 2

4个不同的小球？

追问

当然。

追答

其实都错了。
除非你的盒子还要排队。

追问

那你说说，我哪一步错了？

追答

你的好麻烦……
4个盒子选3个，有C(4,3)＝4种选法。将每种选法选出的3个盒子以其中任意一种次序摆放好。
然后再把球排队，4个球A(4,4)=24种排列法，再当中插入两个隔板有C(3,2)=3种可能，然后把分成的3组，依次放到盒子里。注意由于两个球放入同一个盒子时，它们不存在次序关系，所以要再除一个A(2,2)
所以综上
C(4,3) A（4，4）C(3,2)/A(2,2)=4x4x3x2x3/2＝144种。

追问

设定放入同一盒子时存在次序关系。4个球，中间有3个间隔，插2个隔板应该是A²3？

A²3=6？

追答

4个中间有3个空档，选2个来插入隔板。是C(3,2)