四个相同的小球，分给三个小朋友，有多少种不同的分法？

Question

四个相同的小球，分给三个小朋友，有多少种不同的分法？
1，分四类：004，013，022，112。4*6=24
2，隔板：5*5=25；
3，分步计数：3*3*3*3=81
……正确结果应该是多少呢？

Answer 1

15，要求增加悬赏分。
1.分四类：400，310，220，211
共3+3×2+3+3=15
这种方法太麻烦，极易出错，对于大数目就不好办了，不具有通用性。

2.为便于一般的讨论，介绍一个通用的方法：抽象对应法。
将题目原型抽象对应为如下一个模型：
整数集合里的一个有序组(x,y,z),满足
x+y+z=4，x≥0，y≥0，z≥0，
求有序组(x,y,z)的总个数。
其实这个计数问题求法并不直观。

下面再来看一个类似的，更一般化的
整数集合里的一个有序组(x,y,z),满足
x+y+z=n，x≥1，y≥1，z≥1，
求有序组(x,y,z)的总个数。
下面用构造法构造出所有满足题设的方案。
列为n个1
1 1 1 1...1 1=n
看里面是不是有n-1个空格，在这n-1个空格里任意放入两个+号，就分成了三组数。自己看看这三组数是不是对应于(x,y,z)。
如果是，总数为n-1中任取2个，即组合数C(2,n-1)=(n-1)(n-2)/2。

那么这两个模型有什么联系呢，我们采取对应法变换一下就知道了。
(x+1)+(y+1)+(z+1)=7，x+1≥1，y+1≥0，z+1≥1
其实，实质上就是
x+y+z=7，x≥1，y≥1，z≥1，
总计数为c(2,6)=6×5/2=15

其实我们还可以更一般化为：
在整数集合里，一个k元有序组(x1,x2,x3,...xk)，满足
x1+x2+x3+....+xk=n，x1≥1，x2≥1，x3≥1....xk≥1，
所有有序组总计数为多少？
c(k-1,n-1)
这样这一大类题，最终都可以抽象对应为这样一个模型得到完美的解决。

Answer 2

004，040，400，3种
013，031，103，130，301，310，6种
022，202，220，3种
112，121，211，3种

3+6+3+3=15种

其余算法全不对。

Answer 3

塞翁失马，焉知祸福塞翁塞翁失马，焉知祸福失马，焉知祸福

Answer 4

每人4个--4种
1人3个1人1个--24种
每人2个--12种
每人1个--4种

Answer 5

一万吧，老师说的