高二排列组合问题，12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种

Question

高二排列组合问题，12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种？为什么图中他说一定是分别放5个0个3个4个，不能三个4个一个0个吗？为什么放完隔板小球只有一种方法？

Answer 1

（1）可以放三个4，一个0
（2）因为盒子是不同的元素，而小球是相同的元素，因此这里只关心各个盒子里求的数量，
下面介绍一个公式定理以后就不用隔板法了，
n个相同的小球放入k个不同的盒子（允许空）的方法相当于x1+x2+...+xk=n的非负整数解个数
而其个数即为C（n+k-1取n）

追答

当然n个相同的小球放入k个不同的盒子（不允许空）的方法相当于x1+x2+...+xk=n的正整数解个数
而其个数即为C（n-1取k-1）

记起来即可

追问

为什么解析中说放完隔板后，小球只有一种放法

有点不理解，你能不能先按解析的思路给我讲一下。。麻烦了

追答

把球排成一列，因为这里4个不同的盒子放进相同的小球，因此这里只考虑各个盒中的数量，约定一个顺序，当隔板安置好了，则x1取第一部分，x2取第2部分..x4取第四部分（约定其他顺序也行）因此当挡板安放完毕之后，x1，x2，x3，x4的数目已定，即不同的盒子所装的小球的数量已定，即是某一种取法已经取定.
如果你这里不约定盒子的顺序的话，算出来的取法会重复的.

分享一篇不错的文献，认真阅读，认真理解，你就会有所领悟.

追问

谢谢