5个不同的球放入3个不同箱子，每个箱子必须有球，有多少方法？

Answer 1

可以这么考虑：
　　把5个球放入3个箱子有两种等价的做法：
方法1：先把3个箱子放好，然后对每个箱子，随意取一些球（可以是0个），放入箱子中；只要保证最终所有球都放入箱子即可；
方法2：把5个球放好（比如排成一排），然后用箱子去盖住一些球（同样可以是0个）——这就相当于把这些球放入箱子了；
　　不难发现，只要前2个箱子的球已经选好了，第3个箱子就自然确定了。对于方法2，可进一步简化：
　　把5个球排成一排，然后用2根细棒将其隔为3组（允许某些组中有0个球）；最后，左中右3组球就分别对应于3个箱子。
　　现在问题从“放球”变成了“隔球”；因为球是不动的，我们只需为2个细棒找好位置即可。
　　5个球排成一排，可以放细棒的位置必然有5＋1＝6个；
　　第1根细棒可以随意放置——它表示为第1个箱子选球；
　　第2根细棒就只能放在第1根细棒的右边了——因为第1根细棒左边的球已经属于第1个箱子了，第2个箱子只能从剩下的球里选择；当然，允许2根细棒并排放在一起——这表示第2个箱子里有0个球。
　　所以，根据第1根细棒的位置的不同，第2根细棒的选择会有所不同。具体而言就是，第1根细棒的位置每靠右1格，第2根细棒就会减少1个机会。第1根细棒的6种可能位置，对应的第2根细棒的位置选择数分别为：
　　6，5，4，3，2，1；
合计：21。

Answer 2

如你所说有三种情况：
1。放入一个盒子有：1种方法
2。放入两个盒子：5个球放入两个一样的盒子中，那就是两个盒子挑5个不同的球：（C5/1+C5/2+C5/3+C5/4）/2
=C5/1+C5/2（第一个盒子1个、2个、3个、4个，余下的都是第二个盒子的，两个盒子一样，所以第一个盒子挑3个和4个的情况与挑1个和2个和情况一样，所以要除以2）
3。放入三个盒子：只有两种分法1、2、2和1、1、3；（C5/1C4/2+C5/3C2/1）/2
=（C5/1C4/2）/2
+C5/3（5个球中挑一个球放入一个盒子再从余下的4个球中挑两个球放第二个盒子余下2个放第三个盒中有：C5/1C4/2种+挑三个球放入一个盒子再从余下的2个球中挑一个放入第二个盒子最后一个放入第三个盒子：C5/3C2/1种；
又因为盒子相同所以都要除以2）