3个球放入4个盒子中，每个盒子最多1个球的概率

Question

我的想法：总共样本为
最多1个球放法 C（3，4）＝4
最多2个球放法 C(2,4)×2 ＝12
最多3个球放法 C(1,4) ＝4
则每个盒子最多1个球的概率为 4/20=1/5
和标准答案不符合，有什么问题吗，请帮忙分析我错在哪里？

Answer 1

解：
三个球放到4个盒子中，每一个球都有4种放法，故总共有4x4x4种放法。
题目要求每个盒子最多一个球
故第一个球有4种放法，放了第一个球的盒子不能再放，所以第二个球只剩下3个盒子可选择，故只有3种放法，同理第三个球只有2种放法
所以概率是(4x3x2)/(4x4x4)=3/8

你错在 最多2个球放法的计算上，最多两个球有2种情况：2个盒子装，每个盒子2球；3个盒子装，1个盒子2球，另外2个盒子1球

追问

照你们的说法，2个球放到2个盒子中放法为2×2＝4种吗？实际上只有3种为C(2,2)+C(1,2)，大家可以在纸上画画

追答

最多两个球有2种情况：2个盒子装，一个盒子2球，另一个盒子装1球，放法有：
先在四个盒子中选出2个盒子为C(2,4)，然后3个球放入这两个盒子有C(1,2)两种放法，所以
最多2个球放法为C(2,4)*C(1,2)=12种，而不是你说的3种

我上面的最后一段说明处回答看反了，解答是对的。看成4个球放入3个盒子中了

Answer 2

三个球放到4个盒子中，每一个球都有4种放法，故总共有4*4*4种放法。
题目要求每个盒子最多一个球，故第一个球有4种放法，放了第一个球的盒子不能再放，所以第二个球只剩下3个盒子可选择，故只有3种放法，同理第三个球只有2种放法，所以概率是4*3*2/4*4*4=3/8.

追问

照你们的说法，2个球放到2个盒子中放法为2×2＝4种吗？实际上只有3种为C(2,2)+C(1,2)，大家可以在纸上画画

Answer 3

3个球放入4个盒子中，
每个盒子最多1个球的概率为 P(4,3)/4^3=4*3*2/(4*4*4)=3/8

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你的想法错在哪里:

每个盒子最多1个球的放法 P(4,3)=4*3*2=24
有2个球在一个盒子里的放法 C(3,2)×P(4,2)＝3×4*3=36
3个球都在一个盒子里的放法 C(4,1) ＝4

总共样本为 24+36+4=64
(或 4^3=4*4*4=64)

追问

照你们的说法，2个球放到2个盒子中放法为2×2＝4种吗？实际上只有3种为C(2,2)+C(1,2)，大家可以在纸上画画

Answer 4

答案是3/8吗？